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Gibt es hier eine Person, die mir folgende Aufgabe (Stammfunktion bilden) ohne viel Schnickschnack (also unnötigen langen Rechenweg) lösen könnte? Ich hätte es normalerweise mittels Partialbruchzerlegung gemacht, das geht hier aber leider nicht!

Sollte am besten kurz & einfach zu verstehen sein. Danke.

$$ \frac{4x-2}{x^2+2x+5} $$

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Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Für Partialbruchzerlegung muss der Nenner Nullstellen haben. Das ist hier aber nicht der Fall. Daher zerlege den Bruch wie folgt:$$f(x)=\frac{4x\pink{-2}}{x^2+2x+5}=\frac{(4x\pink{+4})\pink{-6}}{x^2+2x+5}=\frac{4x+4}{x^2+2x+5}-\frac{6}{x^2+2x+5}$$im ersten Bruch ist der Zähler die doppelte Ableitung des Nenners, im zweiten Bruch kannst du den Nenner mit der ersten binomischen Formel vereinfachen:$$f(x)=2\cdot\frac{2x+2}{x^2+2x+5}-\frac{6}{4+(x+1)^2}=2\cdot\frac{2x+2}{x^2+2x+5}-3\cdot\frac{1}{1+\left(\frac{x+1}{2}\right)^2}\cdot\frac12$$

Du erkennst sofort 2 Standardintegrale:$$\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+\text{const}\quad;\quad\int\frac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan(x)+\text{const}$$

und kannst damit die Stammfunktionen hinschreiben:$$F(x)=2\ln(x^2+2x+5)-3\arctan\left(\frac{x+1}{2}\right)+\text{const}$$

Avatar von 152 k 🚀

\(1+(x+2)^2=x^2+4x+5\).

Danke dir... Habe es korrigiert ;)

Hallo und danke für die ausführliche Antwort.


Ich verstehe allerdings die letzte Umformung nicht so ganz. Also da wo 3 mal und danach der Bruch kommt. Konkret wieso die 6 verschwindet und jetzt da eine 3 steht (3 mal 1/2 sind doch keine 6) und wie du auf den Term Nenner gekommen bist.

$$\phantom=\frac{6}{4+(x+1)^2}=\frac{6}{4\left(1+\frac14(x+1)^2\right)}=\frac{6}{4}\cdot\frac{1}{1+\left(\frac{x+1}{2}\right)^2}$$$$=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{1+\left(\frac{x+1}{2}\right)^2}=3\cdot\underbrace{\frac{1}{1+\left(\pink{\frac{x+1}{2}}\right)^2}}_{\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{\pink{\frac12}}_{\text{innere Abl.}}$$Das Integral davon ist nun$$3\arctan\left(\frac{x+1}{2}\right)+\text{const}$$

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Ergebnis mit Rechenweg findest Du auf www.integralrechner.de

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