Aloha :)
Du kannst die Funktion wie folgt umformen:$$f(x)=4+4\tan^2x=4\cdot\left(1+\tan^2x\right)=4\cdot\left(\frac{\cos^2x}{\cos^2x}+\frac{\sin^2x}{\cos^2x}\right)=4\,\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}$$$$\phantom{f(x)}=4\,\frac{\cos x\cdot\cos x-\sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2x}=4\,\frac{(\sin x)'\cdot\cos x-\sin x\cdot(\cos x)'}{(\cos x)^2}$$Du erkennst mit der Quotientenregel:$$\phantom{f(x)}=4\,\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)'=\left(4\,\tan x\right)'$$und kannst daher folgern:$$\int f(x)\,dx=\int\left(4\tan x\right)'\,dx=4\tan x+\text{const}$$
Du kannst dir merken:\(\quad(\tan x)'=1+\tan^2x\).
