Stammfunktion von Potenzreihe bilden

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion in Potenzreihendarstellung

\(\displaystyle f:\; \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: \;x \mapsto \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{2(-9)^{n}}{(2 n-1)!} x^{4 n-1} \)

(a) Geben Sie die Stammfunktion \( F \) von \( f \) mit \( F(0)=1 \) als Potenzreihe an.

\(\displaystyle F(x)=\quad \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-9)^{n}}{(2 n)!} x^{4 n} \)

Problem/Ansatz:

Guten Abend, bei der a) verstehe ich nicht ganz wie man auf die Potenzreihe kommt. Wie muss man hier vorgehen. Ich weiß, dass die 0 eingesetzt wurde und mit der Indexverschiebung auf diese Form, aber der Weg zur Stammfunktion, indem man zum Beispiel die 2 im Zähler weglässt ist mir unklar.

LG

Answer 1

Integriere \(x^{4n-1}\) ganz normal. Die \(4n\) im Nenner schreibst Du als \(4n=2\cdot 2n\). Das erste kürzt sich, das zweite geht zur Fakultät rüber.

Merkregel für Fakultäten: Bei Problemen die Fakultät als Produkt ausschreiben.

Füge dann noch \(+C\) an und pass das \(C\) so an, dass \(F(0)=1\) ist. Indexverschiebung braucht man hier nicht.