Aloha :)
$$f(x)=\sum\limits_{k=1}^\infty kx^{k-1}=\sum\limits_{k=0}^\infty(k+1)x^k=\sum\limits_{k=0}^\infty a_k(x-0)^k$$$$r=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{k+1}{k+2}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{k+2-1}{k+2}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\left|1-\frac{1}{k+2}\right|=1$$
Solange man sich innerhalb des Konvergenzradius \(|x|<1\) bewegt, darf man in unendlichen Summen die einzelnen Summanden differenzieren bzw. integrieren. Daher kannst du eine Stammfunktion sofort hinschreiben:$$F(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty x^{k+1}$$
Dies erinnert stark an die geometrische Reihe, denn:$$F(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty x^{k+1}+1-1=\sum\limits_{k=-1}^\infty x^{k+1}-1=\sum\limits_{k=0}^\infty x^k-1=\frac{1}{1-x}-1=\frac{x}{1-x}$$
