Hey, könnt ihr mir vielleicht sagen, ob die einzelnen Umformungen, bzw, die Beschreibungen dafür so stimmen?
\( \begin{aligned} L\left(a_{1}\right) & =a_{1}^{t} \sum a_{1}-\lambda\left(a_{1}^{t} a_{1}-1\right) \\ & =\sum \limits_{i=1}^{n} a_{1 i}\left(\sum \limits_{1 i}\right)_{i}-\lambda\left(\sum \limits_{i=1}^{n} a_{1 i}^{2}-1\right) \\ & =\sum \limits_{i=1}^{n} a_{1 i}\left(\sum \limits_{j=1}^{n} \Sigma_{i j} a_{1 j}\right)-\lambda\left(\sum \limits_{i=1}^{n} a_{1 i}^{2}-1\right) \\ & =\sum \limits_{i, j=1}^{n} a_{1 i} \Sigma_{1 i} a_{1 j}-\lambda\left(\sum \limits_{i=1}^{n} a_{1 i}^{2}-1\right) \\ & =\sum \limits_{i, j=1}^{n} \Sigma_{i j} a_{1 i} a_{1 j}-\lambda\left(\sum \limits_{i=1}^{n} a_{1 i}^{2}-1\right)\end{aligned} \)
1) In diesem Ausdruck wird die Zielfunktion $L(a_1)$ für den ersten Eigenvektor $a_1$ der Kovarianzmatrix $\Sigma$ berechnet.
2) Im zweiten Schritt wird die Zielfunktion $L(a_1)$ mit Hilfe der Vektorschreibweise ausgedrückt. Hierbei wird die Transponierte des Vektors $a_1$ verwendet, um die Multiplikation mit der Matrix $\Sigma$ zu ermöglichen. Der zweite Term wird mit Hilfe der Lagrange-Multiplikatoren berechnet, um die Nebenbedingung zu berücksichtigen.
3) Im dritten Schritt wird der erste Term der Zielfunktion umgeformt. Hierbei wird das Skalarprodukt des Vektors $a_1$ mit dem Produkt aus der Matrix $\Sigma$ und dem Vektor $a_1$ gebildet. Aufgrund der Symmetrie der Kovarianzmatrix $\Sigma$ kann man hierbei das Matrixprodukt auch in umgekehrter Reihenfolge schreiben, was zu einer übersichtlicheren Schreibweise führt.
4) Im vierten Schritt wird der erste Term erneut umgeformt. Hierbei wird die Summe über $i$ und $j$ geschrieben, um den Ausdruck weiter zu vereinfachen.
5) Im fünften Schritt wird der erste Term unter der Berücksichtigung der Symmetrie der Kovarianzmatrix $\Sigma$ umgeformt. Hierbei wird $\Sigma_{ij}$ durch $\Sigma_{ji}$ ersetzt, um die Doppelsumme zu vereinfachen.
Habt ihr vielleicht Anmerkungen oder Verbesserungen dafür?
