Bestimmen Sie das inverse Element \pi^{-1} von \pi .

Question

Aufgabe:

Wir setzen
\( \pi:=\left(\begin{array}{lllll} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 4 & 1 & 5 & 3 \end{array}\right) \in S_{5} \)
a) Bestimmen Sie das inverse Element \( \pi^{-1} \) von \( \pi \).
b) Stellen Sie \( \pi \) als Verkettung von Transpositionen dar.
c) Bestimmen Sie die Fehlstandszahl \( F(\pi) \) von \( \pi \).

Problem:
Folgendes habe ich versucht….

die a) ist doch garnicht invertierbar, da die Matrix nicht quadratisch ist oder?

b) \( \pi=\left(\begin{array}{lllll}1 & 2 & 4 & 5 & 3\end{array}\right) \)
c) Fehlstandzanl \( F(\pi)=4 \)
\( \Rightarrow \) "schneidet" sich \( 4 \mathrm{mal} \).

komme leider nicht weiter bzw. ich weiß nicht ob die Antwort genügend ist.

Comments

die a) ist doch garnicht invertierbar, da die Matrix nicht quadratisch ist oder?

Es handelt sich nicht um eine Matrix, sondern
um die horizontal angeordnete Wertetabelle
einer bijektiven Abbildung.

Answer 1

Für \(\pi^{-1}\) lies die für \(\pi\) gegebene
"Wertetabelle" von unten nach oben, d.h.
vertausche die Zeilen und sortiere die
Spalten dann um, so dass dann in der ersten Zeile
die natürliche Reihenfolge 1 2 3 4 5 steht.