Zeigen Sie, dass das für a, b, c Element aus K gilt...

Question

Aufgabe: Zeigen Sie, dass das für a,b,c ∈K gilt

Problem/Ansatz: halloo :)

Ich bräuchte Hilfe bei 1 a),ich weiß nämlich nicht wie das zu zeigen ist.

Danke für jegliche Hilfe :)

Text erkannt:

1. a) Zeigen Sie, dass dass für \( a, b, c \in \mathbb{K} \) gilt:
$$ \left|\begin{array}{lll} 1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2} \\ 1 & c & c^{2} \end{array}\right|=(b-a)(c-a)(c-b) $$
b) Für \( x \in \mathbb{R} \) sei
$$ A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 2 & 3 \\ x^{2} & x & 1 & -2 \\ 4 x & 4 & 2 & 1 \\ 6 x & 6 & 3 & 1 \end{array}\right) $$
Berechnen Sie \( \operatorname{det}(A) \) in Abhängigkeit von \( x . \) Für welche Werte von \( x \) ist \( A \) invertierbar?

Answer 1

Aloha :)

Ich würde die Determinante zunächst vereinfachen, indem ich die erste Zeile von der zweite und dritten Zeile subtrahiere$$\phantom{=}\begin{vmatrix}1 & a & a^2\\1 & b & b^2\\1 & c & c^2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & a & a^2\\1-1 & b-a & b^2-a^2\\1-1 & c-a & c^2-a^2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & a & a^2\\0 & b-a & b^2-a^2\\0 & c-a & c^2-a^2\end{vmatrix}$$und dann die Determinante direkt ausrechnen$$=(b-a)(c^2-a^2)-(c-a)(b^2-a^2)$$$$=(b-a)(c-a)(c+a)-(c-a)(b-a)(b+a)$$$$=(b-a)(c-a)(\,(c+a)-(b+a)\,)$$$$=(b-a)(c-a)(c-b)$$