Aufgabe:
Zentrale Abiturprüfung 2019 Aufgabenteil A: ohne Hilfsmittel (oHiMi) Leistungskursfach Mathematik Fachbereich Wirtschaft und Verwaltung
Beschreibung der Ausgangssituation zu Aufgabenteil A: Das Unternehmen SelfCar GmbH entwickelt und produziert unter anderem Akkus und Computerchips für Elektro-Autos.
1.1.1. Die SelfCar GmbH besitzt bezüglich des Modells Akku1000 aufgrund seiner hohen Laufzeit eine monopolistische Stellung. Die Controllingabteilung rechnet mit der folgenden ertragsgesetzlichen
Kostenfunktion \( K \) mit \( K(x)=\frac{1}{3} x^{3}-4 x^{2}+22 x+4 \) und mit der
Grenzgewinnfunktion \( G^{\prime} \) mit \( G^{\prime}(x)=-x^{2}+2 x+8 \).
Die Menge \( x \) ist in ME (Mengeneinheiten), \( K(x) \) in \( G E \) (Geldeinheiten) und \( G^{\prime}(x) \) in \( G E / M E \) angegeben. Berechnen Sie den maximalen Erlös.
Lösung:
Aufstellen der Erlösfunktion
Integration von G' ergibt: \( G(x)=-\frac{1}{3} x^{3}+x^{2}+8 x+d \quad \) mit \( d=-K_{f} \)
Mit \( K_{f}=K(0)=4 \) ergibt sich \( G(x)=-\frac{1}{3} x^{3}+x^{2}+8 x-4 \).
\( \begin{aligned} G(x)=E(x)-K(x) \Rightarrow E(x)=G(x)+K(x) & =-\frac{1}{3} x^{3}+x^{2}+8 x-4+\left(\frac{1}{3} x^{3}-4 x^{2}+22 x+4\right) \\ & =-3 x^{2}+30 x \end{aligned} \)
Maximieren der Erlösfunktion
Notwendige Bedingung: \( E^{\prime}(x)=0 \quad-6 x+30=0 \quad \) für \( x=5 \)
Es handelt sich um eine Maximalstelle, da die zugehörige Parabel nach unten geöffnet ist.
\( E(5)=75 \) Der maximale Erlös liegt bei 75 GE.
Hinweis:
Aus \( E(x)=G(x)+K(x) \) ergibt sich \( E^{\prime}(x)=G^{\prime}(x)+K^{\prime}(x) \)
\( E^{\prime}(x)=-x^{2}+2 x+8+x^{2}-8 x+22=-6 x+30 \)
Problem/Ansatz:
Ich verstehe nicht, wie die in den Lösungen auf -4 gekommen sind, ich verstehe zwar, dass man um die Fixkosten herausfinden muss in K(0) einsetzen muss aber wieso wird es dann zu -4
Bei Aufgabe 1.1.1) meine ich
