Aufgabe:
Teilbarkeit in K[X] ist mangels Antisymmetrie keine Ordnungsrelation (außer im Fall K = Z2). Jede reflexive und transitive Relation lässt sich aber mithilfe einer geeigneten Äquivalenzrelation zu einer Ordnungsrelation machen. Und zwar so:
a) Auf einer Menge A sei eine reflexive und transitive Relation R gegeben. Zeigen Sie, dass durch
a ∼ b ⇐⇒ a R b ∧ b R a auf A eine Äquivalenzrelation erklärt wird.
b) Auf der Menge A/∼ wird die Relation R' erklärt durch [a]∼ R' [b]∼ ⇐⇒ a R b. Zeigen Sie, dass
R' wohldefiniert ist.
c) Zeigen Sie, dass die Relation R' eine Ordnungsrelation auf A/∼ ist.
Problem/Ansatz:
Aufgabe a) habe ich, aber bei b) und c) komme ich nicht weiter. Muss ich beim Beweis von Teilbarkeit ausgehen oder ist es egal, worauf die Relation basiert? Wenn [a]∼ R' [b]∼ , dann ist [a]∼ = [b]∼ oder? Wenn ich als wären dann, wenn man als Beispiel die natürlichen Zahlen nimmt, 2 und 4 in der selben Klasse, auch wenn 4 2 nicht teilt?