Bestimme Antisymmetrie von R={(x,y)} | x + y ist durch 5 Teilbar} auf "alle ganzen Zahlen Z"

Question

Folgende Aufgabe soll als Ergebnis "nicht antisymmetrisch" sein:

R={(x,y)} | x + y ist durch 5 Teilbar} auf "alle ganzen Zahlen Z"


Meiner Meinung nach sollte es doch "antisymmetrisch" sein.

Grund: Ich nehme für x=1 und für y=2

xRy ∧ yRx ⇒ x=y

Dann habe ich beim ersten Teil (xRy ∧ yRx):

3/5 ist Falsch UND 5/3 ist Falsch. Falsch und Falsch gibt als Konjunktion Falsch.

und beim zweiten Teil (x=y):

 1 = 5 ist auch Falsch.

Somit impliziert falsch ⇒ falsch  was wiederum als Ergebnis der Implikation Wahr ist. Also Antisymmetrisch.

Kann es sein, dass ich bei der Aufgabenstellung "x+y ist durch 5 teilbar" etwas falsch weiterverarbeite? Ich verwende ja eigentlich in der Antisymmetrie Formel x+y als x und die 5 als y

Für jede Hilfe wäre ich sehr dankbar. 
Gruss Manqu

Answer 1

für "nicht antisymmetrisch" musst du doch zeigen,

dass nicht für alle (x,y) gilt     xRy ∧ yRx ⇒ x=y

d.h. es muss ein Paar (x,y) geben, für welches

xRy ∧ yRx ⇒ x=y   falsch ist.(Du hast eins gefunden , bei dem es wahr ist.

antisymmetrisch hieße aber :  Es ist für

alle Paare wahr.

Bei  "x+y ist durch 5 teilbar" ist es ja einfach, denn xRy und yRx sind

immer gleichzeitig wahr; denn wenn

x+y durch 5 teilbar ist, dann auch y+x .

Also etwa x=2 und y=3 .

Dann ist x+y=y+x=5 also durch 5 teilbar,

aber   nicht x=y.Also ist      xRy ∧ yRx ⇒ x=y   falsch. q.e.d.

Comments

Danke für deine Antwort. Ich denke ich verstehe etwas Grundsätzliches nicht betreffend Antisymmetrie.
Ich hätte folgende zwei fragen:
1.) Was meinst du mit Antisymmetrie bedeutet: Es ist für alle Paare wahr. 
Meinst du , damit etwas Antisymmetrisch ist, müssten alle Paare also: xRy, yRx und x=y als Ergebnis WAHR ergeben?
Ich dachte man löst das wie folgt (wenn zb: x=2  y=3)
xRy (Wahr da durch 5 teilbar) ∧ yRx (Wahr da durch 5 teilbar) ⇒  x=y (falsch da nicht gleich)
Dann:- Wahr ∧ Wahr (ergibt Wahr)- Wahr ⇒ falsch  (impliziert FALSCH)Somit hätte ich es ja verstanden und das Ergebnis ist "nicht antisymmetrisch". 

2.)Falls mein obiger Gedankengang korrekt ist, warum ist dann auch "nicht antisymmetrisch" wenn man für x=1 und für y=2 nehmen würden. 
Nimmt man diese Werte erhält man ja folgendes:xRy (falsch) ∧ yRx (falsch) ⇒ x=y (falsch)
falsch ∧ falsch ergibt falschfalsch ⇒ falsch ergibt wiederum WAHR und somit Antisymmetrisch??

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1. ist OK2. nicht; denn hier hast du ja nur einen Fall, bei dem die Implikation

wahr ist.  Wäre es antisymmetrisch, dann müsste es für jedes Paar

wahr sein. 

Und wie unter 1 gezeigt gibt es (mindestens) ein Gegenbeispiel;

deshalb ist es nicht antisymmetrisch.

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sorry ich versteh es leider nicht :(

Ich Zitiere dich:
"2. nicht; denn hier hast du ja nur einen Fall, bei dem die Implikation 

wahr ist. "

Nur einen Fall der Wahr ist? Ich habe doch gar keinen? 
- falsch ∧ falsch  ergibt falsch
- falsch ⇒ falsch ergibt erst letztlich als Ergebnis der Implikation WAHR=ANITSYMMETRISCH

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Nur einen Fall der Wahr ist? Ich habe doch gar keinen? 

Du sagst doch selbst:

ergibt erst letztlich als Ergebnis der Implikation WAHRAber das reicht nicht, es müsste in allen Fällen eine wahre

Implikation ergeben. Tut es aber nicht.

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Welche andere Fälle meinst du? Was definierst du als ein anderer Fall? Wäre das erste Beispiel 1.) ein anderer Fall. Also wenn x=2 und y=3?

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etwa  5+5 ist durch 5 teilbar

und (umgekehrt, sieht jetzt was blöd aus) 5+5 ist durch 5 teilbar

und 5=5 .Also hier hätte man den Fall aRb und bRa ==>   a=baber eben bei 2+3 ist es nicht so, dass am Ende  2=3 gilt.Also: nicht in jedem Fall ist die Implikation

aRb und bRa    ==>   a= beine wahre Aussage.

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Das ist perfekt und herzlichen Dank! Jetzt verstehe ich es endlich :)

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Na, das ist ja  prima !