Wie errechne ich den richtigen Schwerpunkt?

Question

Hallo Leute. Bräuchte bitte bei folgendem Beispiel Hilfe.

Zeigen Sie: Sind \( E, F, G, H \) die Mittelpunkte der Seiten des Vierecks \( A B C D \), so haben die Punkte \( A, B, C, D \) und \( E, F, G, H \) denselben Schwerpunkt.
Überprüfen Sie die Behauptung an Hand eines selbstgewählten Beispiels und durch eine Zeichnung. Führen Sie auch einen allgemeinen Beweis über Vektoren.

Den ersten Teil mit dem konkretem Beispiel habe ich geschafft.

Falls mir jetzt noch jemand zeigen kann wie ich das alles dann allgemein mithilfe von Vektoren beweisen kann wäre das noch supertoll.

Lg

Answer 1

Den Schwerpunkt der Punkte berechnet man, indem man den Mittelwert der Koordinaten bildet. Vergleiche dazu: Mittelpunkt einer Strecke sowie Schwerpunkt eines Dreiecks. Das ist nicht mit dem Flächenschwerpunkt eines Vierecks zu verwechseln. Siehe Hinweis und Illustration von Werner in den Kommentaren.

Comments

Sorry sagt mir leider so nichts.
Ich hab den Schwerpunkt der Vierecke immer berechnet indem ich die Vierecke in zweimal zwei Dreiecke geteilt habe also mit den Diagonalen. Von diesen habe ich dann die Schwerpunkte berechnet und eine Gerade darüber gelegt. Dann habe ich die zwei Geraden geschnitten für den Schwerpunkt des Vierecks.

Was ich nicht verstehe ist wie ich einen allgemeinen Beweis über Vektoren führen soll.

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Du kannst die Mittelpunkte mit Hilfe der Eckpunkte darstellen, oder nicht.

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Ja klar.
E = 0,5 *(A+B)
F= 0,5 * (B+C)
G= 0,5 * (C+D)
H= 0,5* (D+A)

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Damit sollte das doch auch über deine Methode mit den Dreiecken funktionieren.

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Hättest du noch einen Tipp ^^ 

Versteh nicht ganz wie ich das angehen soll.
Soll ich die Schwerpunktformeln des Parallelogramms: EFGH versuchen umzuformen damit ich auf Schwerpunktformeln von ABCD komme ?

S(FGH)= 1/3 * [F+G+H] = 1/3 * {0,5 * [(B+C) + (C+D) + (D+A)]}

Da kommt dann auch nix vernünftiges raus :/

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Den Schwerpunkt eines Vierecks berechnet man, indem man den Mittelwert der Koordinaten bildet.

so wie es da steht, ist das falsch!

Richtig ist: Der Schwerpunkt von 4 (oder \(n\)) Punkten berechnet sich aus dem Mittelwert der Punktkoordinaten. Der Flächenschwerpunkt eines Vierecks (und ein Viereck ist eine Fläche) berechnet sich z.B. so wie es quodlibet beschrieben hat:

Ich hab den Schwerpunkt der Vierecke immer berechnet indem ich die Vierecke in zweimal zwei Dreiecke geteilt habe also mit den Diagonalen. Von diesen habe ich dann die Schwerpunkte berechnet und eine Gerade darüber gelegt. Dann habe ich die zwei Geraden geschnitten für den Schwerpunkt des Vierecks.

Diese beiden Punkte weichen i.A. von einander ab. Ist das Viereck ein Parallogramm, so fallen beide Punkte zusammen. Folgendes Desmos-Script demonstriert das

Die lila gestrichelten Geraden sind die Seitenhalbierenden des Vierecks. Die vier schwarzen Punkte im Viereck sind die Schwerpunkte der einzelnen Teildreiecke.

Die Eckpunkte lassen sich verschieben.

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Ok ^^. Aber wie kann ich das allgemein über Vektoren beweisen?
Bei meiner Methode brauche ich ja zwei Geraden die sich dann schneiden.

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Ok ^^. Aber wie kann ich das allgemein über Vektoren beweisen?

das ist ja die Krux! Du kannst es nicht beweisen, weil es nicht wahr ist. Das Viereck, welches sich aus der Verbindung aller Seitenmitten ergibt, ist immer ein Parallelogramm. Und dessen Flächen- und Punktschwerpunkt und sein Diagonalenschnittpunkt fallen immer zusammen. Damit landet man wieder beim Schwerpunkt der Ecken und nicht beim Flächenschwerpunkt des Vierecks.

Ich unterstelle, dass in der Dir gestellten Aufgabe mit 'Schwerpunkt' der Schwerpunkt der Eckpunkte des Vierecks und nicht der (Flächen)schwerpunkt des Vierecks gemeint ist.

Sind \(E_k\) mit \(k=\{0,1,2,3\}\) die Eckpunkte des Vierecks, so liegt der Schwerpunkt \(S_P\) dieser Punktwolke(!) bei $$S_P = \frac{1}{4}\sum E_k$$Die Mitten \(M_k\) der Seiten sind$$M_k = \frac{1}{2}\left(E_{k+1} + E_k\right) \quad k \in \mathbb{Z}_4$$bilde den Schwerpunkt dieser Mittelpunkte$$\begin{aligned}\frac{1}{4} \sum M_k &= \frac{1}{4} \sum \left(\frac{1}{2}\left(E_{k+1} + E_k\right)\right) \\ &= \frac{1}{8} \sum 2E_{k} \\&= \frac{1}{4} \sum E_k =S_P\end{aligned}$$... und Du landest wieder beim Schwerpunkt der Ecken.

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Alles klar. Die Formel für den Eckenschwerpunkt ist ja 1/4 * (A+B+C+D). kann ich diese irgendwie herleiten?

Wie kommst du in der zweiten Zeile der längeren Summenumformung auf 2Ek ?

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In der Aufgabe steht "so haben die Punkte denselben Schwerpunkt". Ich sehe hier nicht, dass es um den Flächenschwerpunkt geht. Dennoch danke an Werner für den Hinweis. Meine Antwort ist da wohl etwas missverständlich. Passe ich an.

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Besten Dank für eure Hilfe. Konnte die Aufgabe jetzt lösen.