Integralrechnung mittels Residuensatz

Question

Aufgabe: Frage zu Residuensatz/ Integralrechnung. Gegeben  sei das Integral von -inf bis +inf von cos(ax)/(x^2+4x+5). Berechnung integral mit a ≥0 mit Residuensatz.

Problem/Ansatz: Die Funktion hat zwei Polstellen bei -2-i und -2+i, jedoch wird die Polstelle mit dem negativen Imaginärteil (also -2-i) laut ML nicht zur Residuenberechnung verwendet. Meine Frage wieso, liegt das am a≥0 oder gilt es allgemein, wäre für a keine Beschränkung gegeben, hätte man da mit beiden Polstellen arbeiten müssen. LG

Answer 1

In deinem speziellen Fall spielt \(a\geq 0\)  gar keine Rolle, da

\(\cos(-z) = \cos z\)

In deinem Fall kann man also immer \(a\geq 0\) annehmen.

Nun zur Verwendung der Polstellen. Ich empfehle, nochmal die Herleitung der Integrationsregeln per Residuensatz anzuschauen:

Man wählt einen geschlossenen Weg in \(\mathbb C\), sodass

(1)  der Teilweg \([-r,r]\) für alle \(r>0\) enthalten ist,

(2)  für \(r \to \infty\) das komplexe Wegintegral über die restlichen Teilwege gegen null geht

Möglichst einfache Wege, die hierbei genutzt werden, sind meist der Halbkreis oder das Rechteck, die dann üblicherweise in der oberen Halbebene gewählt werden. Daher werden nur die Polstellen in der oberen Halbebenen benutzt.

Um (2) zu erzielen, müssen außerdem die Integrale über die restlichen Teilwege geeignet abgeschätzt werden. Dein Integral ist ein Spezialfall von \(\int_{-\infty}^\infty \frac{P(x)}{Q(x)}e^{iax}\, dx\). Um diese Art der Integrale mit dem Residuensatz im Allgemeinen bestimmen zu können, benötigt man \(a > 0\), um die passenden Abschätzungen zu erhalten.