Berechnen Sie mittels Residuensatz das Integral

Question

Aufgabe: Berechnen Sie mittels Residuensatz das Integral

$$\int _0^{\pi }\:\frac{cos\left(3t\right)}{5-4cos\left(t\right)}dt$$

Hinweis: Mit $$z=e^{it} -> cos\left(t\right)=\frac{\left(z+z^{-1}\right)}{2}$$

Problem/Ansatz:

Normalerweise würde ich im Nenner nach den Polstellen suchen. Nur leider hört es da schon bei mir auf...

Für mich wird $$5-4cos\left(t\right)$$ nie "null" werden. Auf dem Problem aufbauend tue ich mir dann schwer den Residuensatz:

$$\int \:f\left(x\right)\:...=2\pi \:i\sum _{n=1}^{\infty }\:Res_{zn}\left(f\right)$$

anzuwenden.

Ich freue mich auf Anregungen und eventuell etwas Hilfe :)

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Residuensatz und Integrale

Stichworte: integral

Aufgabe:

Ich hab die Aufgabe schon mal hier reingestellt, aber leider hab ich nicht wirklich eine Rückmeldung erhalten, daher ein erneuter Versuch :D

Folgendes Integral soll mittels des Residuensatzes berechnet werden:

$$\int _0^{\pi }\:\frac{cos\left(3t\right)}{5-4cos\left(t\right)}dt$$

Problem/Ansatz:

Soweit so gut. Mit dem Ansatz cos(t)=z+z^-1 erhalten wir:

$$\frac{\frac{z^3+z^{-3}}{2}}{5-4\frac{z+z^{-1}}{2}}$$

Für den Nenner erhalte ich damit die Polstellen:

z₁=1/2 und z₂=2

Für die Residuen folgt damit dann:
$$Res\left(f,\frac{1}{2}\right)=\frac{65}{96}$$ und $$Res\left(f,2\right)=-\frac{65}{24}$$ und für $$Res\left(f,0\right)=-\frac{5}{8}$$
Damit müsste ich eigentlich nach dem Residuensatz dann:
$$\int _{-\infty }^{\infty }\:f\left(x\right)dx=2\pi i\sum _{n=1}^m\:Res\left(f,\:z_i\right)$$ mein Integral unter Berücksichtigung der der Integralgrenzen mit |z| = 1/2 das Integral berechnen können. Leider komme ich jedoch nicht auf das Ergebnis was Wolfram ausspuckt... Kann mir eventuell jemand weiterhelfen?

Grüße

---

Hallo,

aber leider hab ich nicht wirklich eine Rückmeldung erhalten,

->das stimmt doch gar nicht

Und das Ergebnis stimmt.

siehe hier:

https://www.mathelounge.de/744977/berechnen-sie-mittels-residuensatz-das-integral

Answer 1

Hallo,

Du mußt den Hinweis beachten:

z=e^(it)

cos(t)=1/2( z+ z^(-1))

cos(3t)=1/2(z^3 +z^(-3))

setze das in das Integral ein und schaue welche Polstellen innerhalb und außerhalb liegen.

Comments

Danke für deine schnelle Rückmeldung!

Das bedeutet für mich, dass ich aus $$5-4cos\left(t\right) zu $$ $$5-4\cdot \left(\frac{\left(z+z^{-1}\right)}{2}\right) umforme$$ Da ich nur die Polstellen zunächst untersuchen will kann ich den Zähler zunächst außer Acht lassen. Ich hab dann allerdings ein Problem mit der Gleichung:

$$5-4\cdot \left(\frac{\left(z+z^{-1}\right)}{2}\right)=0$$ da die Gleichung für mich nicht null wird.

Kann gut sein, dass ich grad total blind vor dem Problem sitze....

---

Du mußt Zähler und Nenner substituieren

---

Folgt dann aus

$$\frac{cos\left(3t\right)}{5-4cos\left(t\right)}=\frac{\left(\frac{z^3+z^{-3}}{2}\right)}{5-4\cdot \left(\frac{z+z^{-1}}{2}\right)}=\frac{z^3+z^{-3}}{10-4\cdot \left(z+z^{-1}\right)}=\frac{z^4+z^{-2}}{-4z^2+10z-4}$$

Und muss ich dann anschließend nach den Polstellen suchen?

Vielen Dank schon mal vorab :)

---

$$\frac{z^4+z^{-2}}{-4z^2+10z-4}\:\:>\:-4z^2+10z-4=0\:\:>\:z_1=-2\:\:und\:\:z_2=-\frac{1}{2}$$

---

da hast Du Dich verrechnet ,

ersetze dt= (1/i) *dz/z

--------> ich erhalte:

=1/(2i) ∫ (z^6+1)/(10z^3-4z^4-4z^2) *1/z dz

von 0 bis 2π

ich habe als Polstellen 0 ,1/2 und 2 erhalten ------->2 fällt ja heraus.

->

z₁= 1/2: res (z)= -65/48

z₂= 0    :res(z)=  21/16

-->

=∫ f(z) dz =2 π i( res(f(1/2)) +res(f(0)) = π/24

---

Tut mir leid... ich hatte deine Nachricht nicht mehr gesehen :(

Also am Ende komme ich auch auf die Polstellen 0,1/2 und 2

Wir erhalten ja:

$$\frac{z^6+1}{-4z^4+10z^3-4z^2}$$ -> Polstellen:

$$-4z^4+10z^3-4z^2=0\:\:\:=\:\frac{-10\sqrt{100-\left(4\cdot \:\left(-4\right)\cdot \:\left(-4\right)\right)}}{-8}=\frac{-10+6}{-8}\:und\:\frac{-10-6}{-8}$$

Damit erhalte ich dann die Polstellen 0, 1/2 und 2

Damit berechne ich dann die Residuen, allerdings komme ich da nicht auf dein Ergebnis - Als Gleichung haben wir dann folgendes:

$$\frac{z^6+1}{z^2\cdot \left(z-\frac{1}{2}\right)\cdot \left(z-2\right)}$$

für z=1/2:

$$\frac{z^6+1}{z^2\cdot \left(z-2\right)}=\frac{\frac{1}{64}+1}{\frac{1}{4}\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)}=\frac{\frac{65}{64}}{-\frac{3}{8}}=-\frac{8}{3}\cdot \frac{65}{64}=-\frac{65}{24}$$

und bei z=0 muss es noch irgend nen Trick gegeben, da ich da nur auf folgendes komme:

$$\frac{z^6+1}{\left(z-\frac{1}{2}\right)\cdot \left(z-2\right)}=\frac{0+1}{\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot \left(-2\right)}=\frac{1}{1}=1$$

was offensichtlich nicht richtig ist

---

ersetze dt= (1/i) *dz/z

das hast Du vergessen, Schau bitte in Dein Script, das steht bestimmt drin.

---

Ok dass hab ich echt gut überblendet... :D

Am Ende komme ich für z=1/2 auch auf das Ergebnis,

aber wie machst du das bei z=0?

---

z= 0 ist 3-fache Polstelle

-->setze in die Residuumformel k =3

--->

res(z)= 1/2  lim (z-->z₀)\( \frac{d^2}{dz^2} \) (z -z₀)^3 *f(z)

---

Eine Frage noch haha:

=∫ f(z) dz =2 π i( res(f(1/2)) +res(f(0)) = π/24

Am Ende komme ich damit nicht auf π/24 sondern auf π/12

Wo mache ich hier den Fehler?

z1= 1/2: res (z)= -65/48

z2= 0    :res(z)=  21/16

-> -65/48+21/16 = -65/48+63/48 = -2/48 = -1/24

2 π i (-1/24)= 1/12π...

Hab ich mal wieder was vergessen zu beachten??

---

res(z)= 1/2  lim (z-->z0)\( \frac{d^2}{dz^2} \) (z -z0)^3 *f(z)

Du hast das 1/2 vergessen, dann stimmt es.

---

Hallo,

ich habe folgende Frage: Das Original-Integral läuft von über \([0,\pi]\), nicht über \([0,2 \pi]\). Wo habt Ihr das berücksichtigt?

Gruß

---

hier:

=1/(2i) ∫ (z^6+1)/(10z^3-4z^4-4z^2) *1/z dz

von 0 bis 2π

---

Das Integral ist eigentlich von 0 bis π

Ist es dann so, dass ich dann mit 1/2 multiplizieren muss?

---

JA,

Es gilt :

\( \int\limits_{0}^{π} \)  (...)dt =  1/2 \( \int\limits_{0}^{2π} \)   (...)dt

---

Super!!

Das hat mir jetzt nochmals eine wertvolle Erkenntnis gebracht :)

Vielen Dank für eure Zeit! :)

---

Danke auch für den Hinweis.

Gruß

---

Wie zeigt man den letzten Schritt noch mathematisch richtig?

Ich habe eben fast genau die gleiche Aufgabe gemacht und mein Dozent meinte, dass man den Schritt noch zeigen muss, dass das gilt.

Ich muss die Aufgabe vorstellen, deswegen kann ich den Dozenten selber nicht fragen...