Reellwertige Zufallsvariable usw. Wie kommt man auf E(X)=−(E(1−X))+1?

Question

Wie kommt man auf diese Lösung?

Aufgabe:

X sei eine reellwertige Zufallsvariable, deren Verteilung durch die folgende von einem Parameter γ > 0 abhängende Dichtefunktion fγ(x) bestimmt ist:

f_γ(x)= \( \frac{1}{γ} \)  (1-x) ^{\( \frac{1}{γ} \) - 1} ,für 0 < x < 1

     0                                                        ,sonst

Berechnen Sie für beliebiges n ∈ IN folgende Momente: E(1−X)ⁿ, E(X), Var(1−X), Var(X)

Problem/Ansatz:

Die Lösung für E(X) und Var(X) verwirrt mich etwas. In der Lösung steht:

E(X)=−(E(1−X))+1 ?? Wie kommt man darauf

und für Var(X)= = 0 + (−1)²Var(X) = Var(1) + Var(−X) = Var(1− X) ? Wie kommt man darauf (Var(1-x) sollte man ja auch berechnen und darauf bin ich auch gekommen.)

Answer 1

$$ \mathbb{V}(1-X) = \mathbb{E} \left[ (1-X)^2 \right]  - \left[ \mathbb{E}(1-X) \right]^2  =  \\ \mathbb{E} (1 - 2X +X^2 ) - \mathbb{E}(1)^2 + 2\mathbb{E}(X) + \mathbb{E}(X^2) = \mathbb{V}(X)$$ weil $$ \mathbb{E}(1) = 1  $$