Muss ich vorher alle Koeffizienten in P(x) modulo 11 rechnen und dann nach 0 auflösen?

Question

Aufgabe: Bestimmen Sie die Nullstellen des Polynoms P(x) = x4 +10x3 +9x2 +3x+1 über F11 inklusive ihrer
Vielfachheiten!

Problem/Ansatz: Zu beginn muss eine Nullstelle durch probieren bzw. erraten gefunden werden. Ich verstehe nicht wie ich eine finden kann da wir uns in F11 bewegen. Muss ich vorher alle Koeffizienten in P(x) modulo 11 rechnen und dann nach 0 auflösen? Eine Erklärung würde mir sehr weiter helfen. Vielen Dank im Voraus.

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Polynomdivsion mit der geratenen Lösung \(x_0\equiv-2 \equiv 9 \mod 11\):

$$\begin{aligned}{1} (&x^4 + &10x^3 + &9x^2 + &3x+ &1) \div (x+2) \equiv x^3 + 8x^2 + 4x + 6 \mod 11\\ -(&x^4+ &2x^3) \\ \hline & &8x^3 + &9x^2 \\ & -(&8x^3 + &5x^2) \\ \hline & & & 4x^2 + &3x \\ & &-(&4x^2 + &8x) \\ \hline & & & &6x + &1 \\ & & & -(&6x + &1) \\ \hline & & & & 0 \end{aligned} $$

Das Ergebnis hat wieder eine Nullstelle bei \(x_1\equiv 9 \mod 11\)

Answer 1

Die Koeffizienten sind doch OK:

Wenn du die üblichen Verdächtigen probierst ( ±1 ; ±2; ±3 .. )

findest du schnell P( -2) = -33 ≡ 0 mod 11

und hast schon mal die erste Nullstelle.

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Ok habs gecheckt, Vieeeelen Dank : )