Zufallsvariable - Erwartungswert - Varianz

Question

Gegeben sei eine Zufallsvariable X mit Werten in {-1,0,1} und Verteilung

   ℙ(X = 1) = ℙ(X = -1) = 1/4

   ℙ(X = 0) = 1/2

Sei nun Y = X²

a) Berechnen Sie ℙ(Y = -1), ℙ(Y = 0) und ℙ(Y = 1)

b) Berechnen Sie den Erwartungswert E(X + Y)

c) Berechnen Sie die Varianz Var(X +Y)

Mein Ansatz:

a) benutze Transformation von Dichten:

   Y:= u(X)

   G(y) = P(u(X) ≤ y) = P(X ≤ u^-1(y)

→ P(X² ≤ y) = P(X ≤ √y)

   g(x) = x²    g^-1(y) = √y

   P(Y = 0) = P(X = 0) = 1/2

   P(Y = 1) = P(X ∈ √1) = P(X = 1 ∨ X = -1) = 1/4 + 1/4 = 1/2

   P(Y= -1) = 0 ??? (kann man das berechen???)

b) Erwartungswert: E(X + Y) = E(X) + E(Y) = E(X) + E(X²) = 0 + 1/2 = 1/2

   habe hier die Formel für den Erwartungswert einer diskreten ZV benutzt: E(X) = ∑ ai * p(ai)

c) Varianz: Var( X + Y) = Var(X) + 2*Cov(X,Y) + Var(Y)

   = Var(X) + 2*Cov(X,X²) + Var(X²) = 1/2 + 2*0 + 1/4 = 3/4

   habe hier für die Var(X) = E(X²) - (E(X))² und für die Cov(X,Y) = E(X*Y) - E(X) * E(Y) benutzt

Answer 1

Warum machst du bei a) eine Transformation von Dichten? Ein Baumdiagramm wäre doch einfacher.

P(Y = 0) = P(X = 0) = 1/2

   P(Y = 1) = P(X ∈ √1) = P(X = 1 ∨ X = -1) = 1/4 + 1/4 = 1/2

   P(Y= -1) = 0 ??? (kann man das berechen???)

Wenn du willst kannst du rechnen P(Y= -1) = 1 - P(Y=0) - P(Y=1) = 1 - 1/2 - 1/2 .

P(X ∈ √1) kenne ich so nicht. Ich betrachte das als falsch, dann √1 = 1 gemäss Definition.

Du meinst vielleicht: P(X^2 = 1) 

Comments

wollte damit sagen, dass man sowohl P(X=1) also auch P(X=-1) beachten muss.

 ja 1² = (-1)²

(irgendwelche Hinweise zu b) c) ???)