Lösen einer log-Gleichung?

Question

Aufgabe:

ln(√x) + 2log₂(x³) = 1-3log∨0,5 (x²)

Problem: Kann mir jemand beim Lösen dieser Gleichung hier helfen?
Mein Ansatz:
ln(√x) + 2log₂(x³) = 1-3log∨0,5 (x²)
0,5 ln(x) + 6 log₂(x) = 1- 6log∨0,5 (x)

Nur jetzt weiß ich leider nicht was der nächste Schritt ist?

Comments

Lautet die Gleichung so?

\( \displaystyle \ell n(\sqrt{x}) + 2 \, log_{2}(x^3) = 1 - 3 \, log_{0,5} (x^2) \)

\( \displaystyle \Longrightarrow \quad x = e^2 \)

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Ja, genau, so lautet die Gleichung:)

Answer 1

Hi,

Du kannst Dir beispielsweise den Basiswechsel zur Hilfe nehmen, wenn Du keine Abkürzung siehst. Das funktioniert mittels:

\(\log_{a}(x) = \frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}\)

Ich wähle die Basis \(b = e\):

\(0,5\ln(x) + 6\frac{\ln(x)}{\ln(2)} = 1-6\frac{\ln(x)}{\ln(0,5)}\)

Mit \(\ln(0,5) = \ln\left(\frac12\right) = \ln(1)-\ln(2) = -\ln(2)\) ergibt sich:

\(0,5\ln(x) + 6\frac{\ln(x)}{\ln(2)} = 1+6\frac{\ln(x)}{\ln(2)}\)

\(0,5\ln(x) = 1\)

\(\ln(x) = 2\)

\(x = e^2 \approx 7,389\)

Grüße