Logarithmus umformen: log bedinfet sich im exponenten

Question

Frage: Wie kommen die folgenden 3 Logarithmustransformationen zu Stande?

$$log_2(x+3)=2-log_2(x-3)$$

$$log_2(x+3)=2-log_2(x-3) \ \ |exp_2(\cdot)$$

$$\Lrarr x+3 = 2^{2-log_2(x-3)}$$

$$\Lrarr x+3  =2^2 \cdot2^{-log_2(x-3)}$$ //Ab hier unverständlich: wo kommt die zweite 2 her?

$$\Lrarr x+3 = 4 \cdot \frac{1}{x-3}$$ // wie ist der 2^x term denn nun zum Bruch geworden?

Answer 1

sei log = log_2:

log(x+3) + log(x-3) = 2

da gilt: log(a)+log(b)= log(a*b), folgt:

log((x+3)(x-3)) = 2| 2^x

x^2-9 = 2^2 = 4

x^2= 13

x= √13

2^log(x)= x

Comments

exp_2 hat somit den log aufgehoben und 2^2 erklärt sich von selbt. Kann man das so verstehen?

Danke ich verstehe diesen Lösungsansatz viel besser als den vom Prof. kann man auch irgendwie durch diesen lösungsansatz drauf schließen wie da noch eine 2 auf einmal auftaucht beim prof?

Answer 2

einfacher wohl so

\(log_2(x+3)=2-log_2(x-3)     + log_2(x-3)  \)

\(log_2(x+3) + log_2(x-3)  =2  \)  log-Gesetz

\(log_2((x+3)(x-3))  =2  \)

Und weil nur der 2er-Log von 4 gleich 2 ist ( 2^2=4)

\((x+3)(x-3) =4  \)

Comments

So ist das tatsächlich viel einfacher! So kapier ichs auch. Nur frage ich mich welche Regeln der Prof wohl angewendet hat um diese umformungen zu schaffen wo dann die 2 aus dem nichst auftaucht das ist mir noch nicht ganz klar

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Klar war noch :

 \(\Lrarr x+3 = 2^{2-log_2(x-3)}\)

Das kannst du auch schreiben als

\(\Lrarr x+3 = 2^{2+(-log_2(x-3))}\)

und jetzt rechts die Regel \( 2^{a+b} = 2^{a} \cdot 2^b \) anwenden

\(\Lrarr x+3  =2^2 \cdot2^{-log_2(x-3)}\)