Der Graph einer Funktion f ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn für alle x aus ihrem Definitionsbereich gilt:
f ( - x ) = f ( x )
Der Graph einer Funktion f ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn für alle x aus ihrem Definitionsbereich gilt:
f ( - x ) = - f ( x )
Der Graph einer Funktion ist entweder achsensymmetrisch zur y-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung oder keines von Beidem.
zu A)
f ( x ) = 4 x 3 + 2 x
Gilt hier:
f ( - x ) = f ( x ) ?
Nun,
f ( - x ) = 4 * ( - x ) 3 + 2 ( - x ) = - 4 x 3 - 2 x
f ( x ) = 4 x 3 + 2 x
Offensichtlich ist f ( - x ) ≠ f ( x ) und damit ist f nicht achsensymmetrisch zum Ursprung.
Genauso offensichtlich aber gilt auch:
f ( - x ) = 4 * ( - x ) 3 + 2 ( - x ) = - 4 x 3 - 2 x = - ( 4 x 3 + 2 x ) = - f ( x )
also ist f punktsymmetrisch zum Ursprung.
zu C)
f ( x ) = 2 + x 2
Gilt hier:
f ( - x ) = f ( x ) ?
Nun,
f ( - x ) = 2 + ( - x ) 2 = 2 + x 2 = f ( x )
Also ist f achsensymmetrisch zur y-Achse. Daraus folgt, dass f nicht punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
Teil B versuche nun einmal selber.
