Aloha :)
Vorbetrachtung
Wir betrachten die 2x2-Matrix:$$A=\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}$$Ihr charakteristisches Polynom lautet:$$p(\lambda)=\left|\begin{array}{cc}a-\lambda & b\\c & d-\lambda\end{array}\right|=(a-\lambda)(d-\lambda)-bc=ad-\lambda d-a\lambda+\lambda^2-bc$$$$p(\lambda)=\lambda^2-(a+d)\lambda+(ad-bc)$$
Wenn die Matrix \(A\) zwei Eigenwerte \(\lambda_1=1\) und \(\lambda_2=2\) hat, besitzt das charakteristische Polynom diese 2 Nullstellen und kann wie folgt geschrieben werden:$$p(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda-2)=\lambda^2-3\lambda+2$$
Der Vergleich beider Darstellungen des charakteristischen Polynoms liefert:$$\red{a+d=3}\quad;\quad \green{ad-bc=2}$$Diese beiden Bedingungen müssen für jede quadratische Matrix mit den Eigenwerten \(1\) und \(2\) gelten. Und umgekehrt hat eine Matrix, deren Komponenten diese beiden Gleichungen erfüllen, die Eigenwerte \(1\) und \(2\). Es handelt sich also um eine Äuqivalenz. Eine quadratische Matrix hat genau dann die beiden Eigenwerte \(1\) und \(2\), wenn diese beiden Gleichungen erfüllt sind.
Das eigentlichen Problem
Nun haben wir folgende Matrix \(A\) vorliegen:$$A=\frac{a}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}ad-2bc & ab\\-cd & 2ad-bc\end{array}\right)$$
Da ihre Eigenwerte nach Voraussetzung \(1\) und \(2\) sind, muss die Summe der Diagonalelemente gleich \(3\) sein (rote Gleichung):$$\red3\stackrel!=\frac{a}{ad-bc}\left((ad-2bc)+(2ad-bc)\right)=\frac{a}{ad-bc}\cdot3(ad-bc)=3a\implies \pink{a=1}$$
Die Determinante dieser Matrix muss gleich \(2\) sein (grüne Gleichung):$$\green2\stackrel!=\frac{a}{ad-bc}\left((ad-2bc)(2ad-bc)+abcd\right)\stackrel{(\pink{a=1})}{=}\frac{1}{d-bc}\left((d-2bc)(2d-bc)+bcd\right)$$$$\phantom 2=\frac{1}{d-bc}\cdot(2d^2-4bcd-bcd+2b^2c^2+bcd)=\frac{1}{d-bc}\cdot2(d^2-2(bc)d+(bc)^2)$$$$\phantom2=\frac{1}{d-bc}\cdot2(d-bc)^2=2(d-bc)\quad\implies\quad\pink{d-bc=1}$$
Unter Berücksichtigung der pinken Nebenbedingngen hat jede 2x2-Matrix mit den Eigenwerte \(1\) und \(2\) eine Darstellung in der angegebenen Form.
