Sei \(A\in\mathbb{C}^{n\times n}\) eine normale Matrix. D.h. es ist \(A^*A = AA^*\).
Nach Spektralsatz ist \(A\) unitär diagonalisierbar. D.h. es gibt eine unitäre Matrix \(U\in\mathbb{C}^{n\times n}\) und eine Diagonalmatrix \(D=\begin{pmatrix} \lambda_1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_n \end{pmatrix}\in\mathbb{C}^{n\times n}\) mit \(A = U D U^*\). [Dabei sind \(\lambda_1, \dots, \lambda_n\in\mathbb{C}\) die Eigenwerte von \(A\).]
Zu zeigen: \(A\) ist hermitesch genau dann, wenn alle Eigenwerte von \(A\) reell sind.
D.h. es ist zu zeigen: \(A^* = A\Longleftrightarrow D\in\mathbb{R}^{n\times n}\)
Beweis der Rückrichtung: \(A^* = A\Longleftarrow D\in\mathbb{R}^{n\times n}\)
[spoiler]
Wenn \(D\in\mathbb{R}^{n\times n}\) ist, so ist \(D^* = \begin{pmatrix}\overline{\lambda_1} & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \overline{\lambda_n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\lambda_1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_n \end{pmatrix} = D\) und damit \[A^* = \left(U D U^*\right)^* = \left(U^*\right)^* D^* U^* = U D U^* = A\text{.}\]
[/spoiler]
Beweis der Hinrichtung: \(A^* = A\Longrightarrow D\in\mathbb{R}^{n\times n}\)
[spoiler]
Aus \(A = U D U^*\) erhält man \(D = U^* A U\).
Wenn nun \(A^* = A\) ist, so ist \[D^* = \left(U^* A U\right)^* = U^* A^* \left(U^*\right)^* = U^* A U = D\text{.}\]
Bezeichne die Diagonaleinträge von \(D\) (also die Eigenwerte von \(A\)) mit \(\lambda_1, \dots, \lambda_n\). Dann ist wegen \(D^* = D\) \[\begin{pmatrix}\overline{\lambda_1} & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \overline{\lambda_n} \end{pmatrix} = D^* = D = \begin{pmatrix}\lambda_1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_n \end{pmatrix}\text{.}\]
Es folgt also \(\overline{\lambda_k} = \lambda_k\) für alle \(k\in \left\lbrace 1, \dots, n \right\rbrace\) und damit \(\lambda_k\in\mathbb{R}\) für alle \(k\in \left\lbrace 1, \dots, n \right\rbrace\).
[/spoiler]
