Komplexe Zahlen: Für welche Werte x ∈ ℝ ist x²(1+i) + 4 x (i-1) + 4 (1+i) reell oder rein imaginär?

Question

Komplexe Zahlen:

Für welche Werte x ∈ ℝ ist

x²(1+i) + 4 x (i-1) + 4 (1+i)

- reell?

- rein imaginär?

Answer 1

Hallo Alonso,

löse es doch einfach auf:

$$x^2(1+i) + 4 x (i-1) + 4 (1+i) = x^2 -4x + 4 + i(x^2 +4x + 4)$$ ist \(\in \mathbb{R}\), wenn

$$x^2 +4x + 4 = 0 = (x+2)^2 \quad \Rightarrow x = -2$$ und ist rein rein imaginär, wenn

$$x^2 -4x + 4  = 0 = (x-2)^2 \quad \Rightarrow x = 2$$ Gruß Werner

Comments

Ich bin mit den Komplexen Zahlen nicht so vertraut, dennoch würde ich gerne eine Frage stellen. Wieso darf man i einfach weglassen, oder hast du es gar nicht weggelassen und ich habe es einfach übersehen.

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.. ich meine nichts weg gelassen zu haben. Nein, man kann \(i\) normal nicht weg lassen, es sei denn, man multipliziert es mit \(0\), das sehe ich hier aber auch nicht.

Wo siehst Du ein weg gelassenes \(i\)?

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Wie gesagt ich kenne mich da nicht gut aus.

bei dem Teil

z^2+4x+4

Das wurde mit i multipliziert und bei deinem Schritt finde ich das nicht.

Bitte nicht als Fehlersuche aufnehmen. Ich nutze es hier als "Fortbildung", wenn man das so nennen kann.

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Wo siehst Du ein weg gelassenes i? 

Die Frage lädt zum Philosophieren ein.

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"bei dem Teil  z2+4x+4  Das wurde mit i multipliziert" das war schon vorher mit \(i\) multipliziert, ich habe nur alle Produkte mit \(i\) zusammen gefasst.

Allgemein kann man eine komplexe Zahl \(z\) schreiben als $$z = a + i \cdot b$$ Wenn \(b=0\) ist, dann hat \(z\) keinen imaginären Anteil und wäre folglich \(\in \mathbb{R}\). Die Frage lautete "Für welche Werte x c R ist \(z\) reel?" Antwort: wenn \(b=0\) ist. Und bei  $$z=a+ i \cdot b = x^2 -4x + 4 + i(x^2 +4x + 4)$$ ist \(b=x^2 +4x + 4\). Ist hier \(x=-2\), so wird \(b\) zu 0.

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Ah, vielen Dank, jetzt wurde mir einiges klar.

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\( x^{2}(1+i)+4 x(i-1)+4(1+i)=x^{2}-4 x+4+i\left(x^{2}+4 x+4\right) \)

Also irgendwie verstehe ich nicht, wie man auf die gleichung rechts von dem = kommt?!

Man kann ja nicht die reellen Zahlen einfach aufsplitten, oder?

Denn links und rechts sind hier ja jetzt nicht die gleichen Lösungen, also eigentlich ist dass doch ungleich...?!

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Man kann ja nicht die reellen Zahlen einfach aufsplitten, oder?

Wenn Du damit einen Ausdruck wie \((1+i)\) meinst - doch kann man. Man kann mit den imaginären Zahlen 'ganz normal' rechnen. Aus

$$x^2(1+ i) = ...$$ wird, da das Distributivgesetz genauso wie bei reellen Zahlen gilt:

$$x^2(1+ i) = x^2 \cdot 1 + x^2 \cdot i$$ und aus $$x^2(1+i) + 4 x (i-1) + 4 (1+i) = ....$$ wird

$$ x^2(1+i) \colorbox{#ffffA8}{+4 x (i-1)} + 4 (1+i) \\ = x^2 \cdot 1 + x^2 \cdot i \colorbox{#ffffA8}{+ 4x · i - 4x · 1} + 4\cdot 1 + 4 \cdot i$$ noch sortieren; erst die reellen dann die Produkte mit \(i\)

$$ = x^2 \cdot 1 - 4x \cdot 1 + 4\cdot 1 + x^2 \cdot i +4x \cdot i + 4 \cdot i$$ und dann das \(i\) wieder ausklammern und das \(\cdot 1\) weg lassen

$$ = x^2 - 4x + 4 + (x^2 +4x + 4) \cdot i$$ ist der Ausdruck von oben aus meiner Antwort.