Komplexe Zahlen. Für welche n ist (2∠45°)^n eine rein reelle, bzw. eine rein imaginäre Zahl

Question

Für welche Werte von n ist (2∠45°)ⁿ       1) eine rein reelle,              2) eine rein imaginäre Zahl

Answer 1

Was gilt denn für das Argument von rein reellen und rein imaginären Zahlen?

Für welche Werte von n ist (2∠45°)ⁿ

1) eine rein reelle,        hat das Argument k*π = k*180°, k € Z. 

 2) eine rein imaginäre Zahl ,  hat das Argument π/2 + k*π, k € Z. 

Deshalb:

Für welche Werte von n ist (2∠45°)ⁿ       

1) eine rein reelle,        hat das Argument k*π = k*180°, k € Z. 

n = 4m, m € Z

 2) eine rein imaginäre Zahl ,  hat das Argument π/2 + k*π, k € Z. 

n = 2 + 4m, m € Z. 

Answer 2

(2∠45°)ⁿ   soll das irgendeine kompexe Zahl zu nem Winkel von 45° zur pos. x-Achse sein?

Dann ist für n=0 das ganze reell, denn z^0 = 1 für alle z aus C.

bei n=1  weder rein reell noch rein imaginär

bei n=2 , also Winkel 90° zur pos.x-Achse ist es rein imaginär

n=3  weder noch

n=4  eine negative rein reelle Zahl

n=5 weder noch

n=6  rein imaginär

n=7 weder noch

n=8 positiv rein reell

Dann geht es wieder von vorne los .

Also rein reell für n ≡ 0 mod 4

rein imaginär   für n ≡ 2 mod 4

weder noch: sonst.