Besitzt der ℚ-Vektorraum ℂ eine Basis, die nur aus reellen und rein imaginären Zahlen besteht?

Question

Aufgabe: Besitzt der ℚ-Vektorraum ℂ eine Basis, die nur aus reellen und rein imaginären Zahlen besteht?

Problem/Ansatz: Ich komme hier leider überhaupt nicht weiter... Falls es eine solche Basis geben sollte, könnte mir jemand evtl. einen Denkanstoß geben, wie ich auf diese Basis komme?

Answer 1

Ist \(B\) eine Basis des \(\mathbb{Q}\)-Vektorraums \(\mathbb{R}\),

dann ist \(B\cup iB\) eine Basis des \(\mathbb{Q}\)-Vektorraums \(\mathbb{C}\).

Hier bedeutet \(iB=\{ib: \; b\in B\}\).