Zeigen, dass eine Funktion keine reellen Nullstellen besitzt?

Question

Zeigen Sie, dass die Funktion f(x) = x³ - 6x² + 36x + 6 für x > 0 keine reellen Nullstellen besitzt. Ein Argument nur über den Graphen der Funktion ist unzulässig.

Wie mach ich das, ohne den Graphen zu benutzen? 

Answer 1

Hi,

Bestimme den Wert an x = 0. Dieser ist f(0) = 6.

Bestimme die Ableitung: f'(x) = 3x^2-12x+36

Die Ableitung ist stets größer 0 und damit die Steigung der Funktion f(x) stets positiv. Für x > 0 haben wir also keinen Funktionswert < 6. Insbesondere nicht 0.

Grüße

Answer 2

$$ x^3-6x^2+36x+6=x(x^2-6x+36)+6\\x^2-6x+36>0, \forall x \in \mathbb{R}\\\to x(x^2-6x+36)>0 \text{ wenn } x>0\\\to x(x^2-6x+36)+6=x^3-6x^2+36x+6>0\text{ wenn } x>0 $$