Bestimme alle Werte von γ∈ℂ für 2γ rein imaginär und für die 2γ reell ist.

Question

Aufgabe:

Bestimme alle Werte von γ∈ℂ für 2^γ rein imaginär und für die 2^γ reell ist.

Problem/Ansatz:

Also ich dachte mir, dass ich γ=x+iy schreiben kann. Nun müsste ich ja x und y bestimmen, sodass 2^γ rein imaginär oder reell ist. Erst versuchte ich es mit dem log₂, aber das hat mich zu nichts geführt.
Nun bin ich am überlegen, ob ich den Moivrescher Satz verwenden kann, nur so ganz kann ich damit nichts anfangen.

Ich hoffe jemand kann mir da weiter helfen, schon mal vielen Dank im Voraus :)

Answer 1

Es gilt \(2=e^{ln2}\) und somit \(2^γ=e^{γ\cdot ln2}\).

Wenn man γ als komplexe Zahl der Form x+iy darstellt, wird daraus

\(e^{x\cdot ln2+i\cdot y\cdot ln2}\).

Wenn das rein imaginär werden soll, muss \(y\cdot ln2=\frac{\pi}{2}+k\pi\) gelten.

Wenn das reell werden soll, muss \(y\cdot ln2=k\pi\) gelten.

Comments

Vielen Dank für deine Antwort, das hilft mir schon ein gutes Stück weiter.

Ganz klar ist mir nur nicht wie man dann auf \(y\cdot ln2=\frac{\pi}{2}+k\pi\) , wenn es rein imaginär ist und auf \(y\cdot ln2=k\pi\) , wenn es reell ist kommt.

Wenn du mir dies noch erläutern könntest bin ich dir unfassbar dankbar :)

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Die Exponentialform einer komplexen Zahl ist z=\(e^{ln\; r \;+ i\phi}\).

r ist der Betrag und φ das Argument. Rein imaginäre Zahlen haben das Argument φ=0,5π oder φ=1,5π oder φ=2,5π oder ...

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Dank dir!

Zum Verständnis nochmal nachgefragt. z=\(e^{ln\; r \;+ i\phi}\) ist r der reelle Anteil und iΦ der imaginäre Anteil? und ist gemeint ln(r+iΦ) oder ln(r) + iΦ?

Verstehe ich das so dann richtig, oder bin ich gerade auf einer falschen Spur?

Nochmals vielen Dank für deine Mühe :)