Determinante rein imaginär beweisen

Question

Seien z1,...,z4 ∈ ℂ und a1,...,a4, b1,...b4 ∈ ℝ.

z' bezeichne jeweils die zu z komplex konjugierten Zahlen.

Beweisen Sie dass die Determinante rein imaginär ist

\( \begin{pmatrix} z1 & z'1 & a1 & b1\\ z2 & z'2 & a2 & b2\\ z3& z'3 & a3 & b3\\ z4 & z'4 & a4 & b4  \end{pmatrix} \)

Rein imaginär müsste ja heissen dass der Realteil der Determinante =0 ist, aber wie beweise ich das hier ?

Answer 1

Aloha :)

Die Behauptung aus der Aufgabenstellung ist falsch. Die Determinante ist rein imaginär oder Null. Die Null erhält man z.B. wenn man die \(a_k\) gleich den Realteilen der \(z_k\) setzt.

Wir schreiben die komplexen Werte \(z_k=x_k+iy_k\) als Real- und Imaginärteil mit \(x_k,y_k\in\mathbb R\) in die Determinante:

$$\left|\begin{array}{cccc}z_1 & z'_1 & a_1 & b_1\\z_2 & z'_2 & a_2 & b_2\\z_3 & z'_3 & a_3 & b_3\\z_4 & z'_4 & a_4 & b_4\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}x_1+iy_1 & x_1-iy_1 & a_1 & b_1\\x_2+iy_2 & x_2-iy_2 & a_2 & b_2\\x_3+iy_3 & x_3-iy_3 & a_3 & b_3\\x_4+iy_4 & x_4-iy_4 & a_4 & b_4\end{array}\right|$$

In einer Dederminante können wir das Vielfache einer Reihe von einer anderen Reihe subtrahieren oder zu einer Reihe addieren, ohne dass sich der Wert der Determinante ändert. Wir subtrahieren die zweite Spalte von der ersten Spalte:$$=\left|\begin{array}{cccc}i2y_1 & x_1-iy_1 & a_1 & b_1\\i2y_2 & x_2-iy_2 & a_2 & b_2\\i2y_3 & x_3-iy_3 & a_3 & b_3\\i2y_4 & x_4-iy_4 & a_4 & b_4\end{array}\right|$$Wie addieren die Hälfte der ersten Spalte zur zweiten Spalte:$$=\left|\begin{array}{cccc}i2y_1 & x_1 & a_1 & b_1\\i2y_2 & x_2 & a_2 & b_2\\i2y_3 & x_3 & a_3 & b_3\\i2y_4 & x_4 & a_4 & b_4\end{array}\right|$$

Aus einer Reihe der Determinante kann man Faktoren vor die Determinante ziehen. Aus der ersten Spalte ziehen wir den Faktor \(2i\) vor die Determinante:$$=2i\cdot\left|\begin{array}{cccc}y_1 & x_1 & a_1 & b_1\\y_2 & x_2 & a_2 & b_2\\y_3 & x_3 & a_3 & b_3\\y_4 & x_4 & a_4 & b_4\end{array}\right|$$Da die Determinante nun nur noch reelle Zahlen enthält, wird ihr Ergebnis ebenfalls eine reelle Zahl sein. Wegen des Vorfaktors \(2i\), ist die Determinante dann rein imaginär (oder Null, falls die Determinante Null ergibt).

Answer 2

Mit \(z_i = x_i + y_i\mathrm{i}\) ist die Determinante

\(-2i\left({a_1}{b_2}{x_3}{y_4}-{a_2}{b_1}{x_3}{y_4}-{a_1}{b_3}{x_2}{y_4}+{a_3}{b_1}{x_2}{y_4}+{a_2}{b_3}{x_1}{y_4}-{a_3}{b_2}{x_1}{y_4}-{a_1}{b_2}{x_4}{y_3}+{a_2}{b_1}{x_4}{y_3}+{a_1}{b_4}{x_2}{y_3}-{a_4}{b_1}{x_2}{y_3}-{a_2}{b_4}{x_1}{y_3}+{a_4}{b_2}{x_1}{y_3}+{a_1}{b_3}{x_4}{y_2}-{a_3}{b_1}{x_4}{y_2}-{a_1}{b_4}{x_3}{y_2}+{a_4}{b_1}{x_3}{y_2}+{a_3}{b_4}{x_1}{y_2}-{a_4}{b_3}{x_1}{y_2}-{a_2}{b_3}{x_4}{y_1}+{a_3}{b_2}{x_4}{y_1}+{a_2}{b_4}{x_3}{y_1}-{a_4}{b_2}{x_3}{y_1}-{a_3}{b_4}{x_2}{y_1}+{a_4}{b_3}{x_2}{y_1}\right)\)

laut laplaceschem Entwicklungssatz.

Answer 3

Mit \(z=x+iy\) (Spaltenvektoren) gilt

\(\det(z,\overline{z},a,b)=\det(z-\overline{z},\overline{z},a,b)=\det(2iy,\overline{z},a,b)=\)

\(=2i\det(y,\overline{z},a,b)=2i\det(y,\overline{z}+iy,a,b)=2i\det(y,x,a,b)\).

Die letztgenannte Determinante ist offenbar reell.