Hallo,
die Überschrift Deiner Frage ist anders als der Fragetext. Gehe ich von letzterem aus, so steht da
$$z (\bar{z})^{-1}$$
Ja? Wenn ja dann in der Exponentialform (der Fall z=0 ist grundsätzlich ausgeschlossen):
$$z (\bar{z})^{-1}=r \exp(i \phi)(r \exp(-i\phi))^{-1}=r \exp(i \phi)\frac{1}{r} \exp(i\phi)=\exp(2i\phi)$$
Das ist reell genau dann, wenn \(2 \phi=0+2k \pi\) oder \(2 \phi=\pi+2k\pi\) mit ganzzahligem k.
Vergleich man das mit der algebraischen Form:
$$z (\bar{z})^{-1}=\frac{x+yi}{x-yi}=\frac{x+yi}{x-yi}\frac{x+yi}{x+yi}=\frac{x^2-y^2+2xyi}{x^2+y^2}$$
Hier ist der Ausdruck reell genau dann wenn der Imaginärteil verschwindet, also, wenn x=0 oder y=0.
Gruß Mathhilf