help? Wann ist z · x⁻ hoch -1 reell & wann ist es imaginär?

Question

Gegeben sei z = r · e^iφ als komplexe Zahl in Exponential-Darstellung.
Wann ist z · z⁻ ^-1 reell &. wann imaginär? Stelle z in Exponential- und algebraischer Form dar?

verstehe nicht wie ich anfangen soll

Comments

kann es sein, dass es bereits die exponentielle darstellung ist?

---

also ich weiß

z= r * e^iφ = r * exp(iφ) = r* (cos φ + i sin φ)

komme aber nicht weiter

Answer 1

Hallo,

die Überschrift Deiner Frage ist anders als der Fragetext. Gehe ich von letzterem aus, so steht da

$$z (\bar{z})^{-1}$$

Ja? Wenn ja dann in der Exponentialform (der Fall z=0 ist grundsätzlich ausgeschlossen):

$$z (\bar{z})^{-1}=r \exp(i \phi)(r \exp(-i\phi))^{-1}=r \exp(i \phi)\frac{1}{r} \exp(i\phi)=\exp(2i\phi)$$

Das ist reell genau dann, wenn \(2 \phi=0+2k \pi\) oder \(2 \phi=\pi+2k\pi\) mit ganzzahligem k.

Vergleich man das mit der algebraischen Form:

$$z (\bar{z})^{-1}=\frac{x+yi}{x-yi}=\frac{x+yi}{x-yi}\frac{x+yi}{x+yi}=\frac{x^2-y^2+2xyi}{x^2+y^2}$$

Hier ist der Ausdruck reell genau dann wenn der Imaginärteil verschwindet, also, wenn x=0 oder y=0.

Gruß Mathhilf

Comments

Ich verstehe nicht, wie man auf diesen Teil kommt, was bedeutet das?

\(2 \phi=0+2k \pi\) oder \(2 \phi=\pi+2k\pi\) ?