Zeigen Sie, dass es sich bei z1 tatsächlich um eine Nullstellen handelt und geben Sie eine weitere nicht reelle …

Question

Aufgabe:

Wir betrachten das (komplexe) Polynom f (z) = z3 − z2 + 2. Eine Nullstelle des Polynoms ist gegeben durch z1 = 1 + i. Zeigen Sie, dass es sich bei z1 tatsächlich um eine Nullstellen handelt und geben Sie eine weitere nicht reelle Nullstelle von f an.

Problem/Ansatz:

Comments

Du setzt \( z_1 \) in das Polynom ein und rechnest aus, dass dann \( 0 \) rauskommt.

Wenn dir kein besserer Ansatz einfällt (spoiler: den gibt es) kannst du anschließend in reiner Fleißarbeit eine Polynomdivision durch \( z - z_1 \) machen. Du erhältst ein komplexes quadratisches Polynom, dessen Nullstellen du berechnen können solltest.

Answer 1

\(  (1+i)^3-(1+i)^2+2 = 1+3i+3i^2+i^3 -(1+2i+i^2)+2  \)

\( = 1+3i-3-i -1-2i+1+2 = 0 \)

Also ist z1 eine Nullstelle.

Und dann ist das konjungierte auch eine, also z2=1-i.

Comments

Wie kommt man auf die 1+3i+3i²+i³-(1+2i+i²)+2 ?

---

1+i für x in die Funktionsgleichung einsetzen und

dann die Klammern mit binomischer Formel auflösen.