Bestimmen Sie die Nullstellen z1, z2, z3 des komplexen Polynoms z3−1 und zerlegen Sie das Polynom in Linearfaktoren.

Question

a)Bestimmen Sie die Nullstellen z₁, z₂, z₃ des komplexen Polynoms z³−1 und zerlegen Sie das Polynom in Linearfaktoren.

Ok, z₁ = 1 und z³-1= (z-1)(z²+z+1). Dann was?

b)Zeigen Sie,dass |z₁−z₂|=|z₂−z₃|=|z₃−z₁| und | z_j |=1 für alle j=1,2,3.

Answer 1

z³-1= (z-1)(z²+z+1). Dann was?

Löse die Gleichung z²+z+1=0.

Comments

:( ich würde falls ich könnte

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\(pq\)-Formel mit \(p = 1\) und \(q=1\):

\(\begin{aligned} z & =-\frac{1}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-1}\\ & =-\frac{1}{2}\pm\sqrt{-\frac{3}{4}}\\ & =-\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i} \end{aligned}\)

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oh ok, Dann was soll ich tun für b)?

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Der Betrag \(|z|\) einer komplexen Zahl \(z = a + b\mathrm{i}\) wird berechnet mittels

         \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\).

Berechne die entsprechenden Beträge.

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Zeichne mal die Gauß'sche Ebene mit den drei Lösungen und verbinde die Punkte. Dann müsstest du ein gleichseitiges Dreieck bekommen.

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wie kann ich | zj |=1 für alle j=1,2,3 zeigen?

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\(a\) und \(b\) bestimmen und in die Formel einsetzen.

Answer 2

Lösungsweg ohne p,q Formel und - unter der Wurzel:

\(z^3-1=0\)     \(z^3=1\)

\(z_1=1\)

\(f(z)=(z-1)(z^2+z+1)\)

\(z^2+z+1=0\)

\(z^2+1z=-1\)

\(z^2+1z+0,5^2=-1+0,5^2=-0,75\)

\((z+0,5)^2=0,75i^2  |±\sqrt{~~}\)

\(1.)\)

\(z+0,5=i\sqrt{\frac{3}{4}} =\frac{i}{2}\sqrt{3} \)

\(z_1=-0,5+\frac{i}{2}\sqrt{3} \)

\(2.)\)

\(z_2+0,5=-\frac{i}{2}\sqrt{3} \)

\(z_2=-0,5-\frac{i}{2}\sqrt{3} \)

\(f(z)=(z-1)(z+0,5-\frac{i}{2}\sqrt{3})(z+0,5+\frac{i}{2}\sqrt{3})\)