Berechnen Sie für die komplexen Zahlen z1, z2 und z3

Question

Aufgabe:,

Berechnen Sie für die komplexen Zahlen z1, z2 und z3 mit

\( z_{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2} \mathrm{i}, \quad z_{2}=-1+1 \mathrm{i}, \quad z_{3}=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{i} \)

den folgenden Ausdruck:

Problem/Ansatz:

Ich hab hier zuerst z1 und z2 multipliziert und danach 1/z3 gemacht jetzt habe ich das raus:

weiß aber nicht wie ich das jetzt in die jeweiligen potenzen erhöhe

Answer 1

Aloha :)

Betrachte zuerst nur den Bruch ohne Potenzen:$$\frac{z_1\cdot z_2}{z_3}=\frac{\left(\frac{\sqrt3}{2}+\frac{3}{2}\,i\right)\left(-1+i\right)}{-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\,i}=\frac{\left(\frac{\sqrt3}{2}+\frac{3}{2}\,i\right)\left(-1+i\right)}{\frac{3}{2}\,i^2+\frac{\sqrt{3}}{2}\,i}=\frac{\left(\frac{\sqrt3}{2}+\frac{3}{2}\,i\right)\left(-1+i\right)}{i\left(\frac{3}{2}\,i+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)}$$$$\phantom{\frac{z_1\cdot z_2}{z_3}}=\frac{-1+i}{i}=\frac{i^2+i}{i}=\frac{i(i+1)}{i}=i+1$$

Damit ist nun:$$\frac{z_1^6\cdot z_2^8}{z_3^6}=\left(\frac{z_1\cdot z_2}{z_3}\right)^6\cdot z_2^2=(i+1)^6\cdot(-1+i)^2=(i+1)^4(i+1)^2(i-1)^2$$$$\phantom{\frac{z_1^6\cdot z_2^8}{z_3^6}}=(i^4+3i^3+6i^2+3i+1)(i^2-1)^2=(1-3i-6+3i+1)(-1-1)^2$$$$\phantom{\frac{z_1^6\cdot z_2^8}{z_3^6}}=(-4)\cdot(-2)^2=-16$$

Comments

Könntest du dir auch bitte meine Frage ansehen? Ähnliche Aufgabe mit anderen Hochzahlen ^^

Answer 2

Könntest du alle komplexen Zahlen z1, z2 und z3 in die Polarform (e-Form) bringen?

Ich denke das würde dir viel Arbeit ersparen.