Komplexen Zahlen (a) Bestimme die Skalarprodukte <zj , zk>, j ≠ k von z1 = 1, z2 = i, z3 = 1 + i, z4 = 1 − i

Question

Ein paar nette Aufgaben zu komplexen Zahlen:

(a) Bestimmen Sie die Skalarprodukte <z_j , z_k>, j ≠ k der folgenden Zahlen
z₁ = 1, z₂ = i, z₃ = 1 + i, z₄ = 1 − i
Falls <z_j , z_k> = 0, finden Sie a ∈ ℝ  mit z_j = iaz_k

(b) Bestimmen Sie die Skalarprodukte <z_j , z_k>, j ≠ k der folgenden Zahlen
z₁ = 1 + 3i, z₂ = 3 + i, z₃ = 3 − i
Falls <z_j , z_k> = 0, schreiben finden Sie a ∈ℝ mit z_j = iaz_k

(c) Für welche komplexen Zahlen z gilt $$ \langle z , \overline { z } \rangle = 0 $$

Viel Spaß beim Knobeln.

Answer 1

 

a) Bestimmen Sie die Skalarprodukte <z_j , z_k>, j ≠ k der folgenden Zahlen 
z₁ = 1, z₂ = i, z₃ = 1 + i, z₄ = 1 − i 
Falls <z_j , z_k> = 0, finden Sie a ∈ ℝ  mit z_j = iaz_k

z1z2> = z2z1> = 1*0 + 0*1 = 0  

z1 = -i*z2, a=-1

z2 = i*z1, a= 1

z1z3> = z3z1>= 1*1 + 1*0 = 1

z1z4> = z4z1> = 1 - 0 = 1

z2z3> = z3z2> = 0 + i^1 = -1

z2z4> = z4z2> = 0 - i^2 = 1

z3z4> = z4z3> = 1 - i^2 = 1 + (-1) = 0

z3 = -iz4 → a=-1

z4 = iz3 → a=1

b) kannst du jetzt sicher selbst rechnen.

c) zzQUER> =0, wenn die zugehörigen Ortsvektoren senkrecht aufeinander stehen also, wenn z und zQuer senkrecht aufeinander stehen.

z=a+ib

zzQUER> = a^2 - b^2 = 0

=======> a=±b

L = {z|z = a(1+i) oder z = a(1-i), a Element R}