Extremwertaufgabe beweisen, dass für den Flächeninhalt eines Rechtecks gilt: A(x) = -2/3x^2 + 4x, für 0 < x < 6

Question

Hallo, bitte helft mir

Aufgabe:

Die Gerade g schneidet die y- Achse an der Stelle (0/4) und die x - Achse an der Stelle (6/0). Der Punkt C liegt auf der Geraden g und ist variabel.

Zeichnet man die Parallelen zu den Koordinatenachsen durch den Punkt C, so entsteht das Rechteck ABCD

a.) Zeige, dass für den Flächeninhalt des Rechtecks gilt: A(x)= -2/3x^2 + 4x, für 0 < x < 6

b.) Bestimme x so, dass der Flächeninhalt des Rechtecks ABCD maximal wird. Gib diesen Maximalwert an.

Problem/Ansatz:

Ähm um ehrlich zu sein, blicke ich 0 durch. Ich brauche bitte eine komplette Erklärung. Nummer b kriege ich eventuell noch hin (Basiswissen aus dem Unterricht), aber a schaffe ich nicht, nicht mal den Ansatz…

Unter diesem Link die Nummer 14:

Nummer 14.

https://mathe-physik-aufgaben.de/aufgaben/GM_AU057.pdf

Answer 1

Eine Gleichung der Geraden \(g\) lautet \(g(x)=-\frac{2}{3}x+4\). Fertige eine Skizze an und mache dir klar, wie das Rechteck aussieht. Wie lang sind die Seiten in Abhängigkeit von \(x\)?

Answer 2

Hallo,

erstelle zunächst die Gleichung der Geraden g durch die beiden Punkte: \(g(x)=-\frac{2}{3}x+4\)

Die Punkte haben folgende Koordinaten:

\(A=(0\mid 0)\quad B=(x\mid0)\quad C=(x\mid g(x))\quad D=(0\mid g(x))\)

Der Flächeninhalt des Rechtecks ist \(A_{Rechteck}=x\cdot g(x)=x\cdot \bigg(-\frac{2}{3}x+4\bigg)=-\frac{2}{3}x^2+4x\).

Berechne den Scheitelpunkt dieser Parabel!

Gruß, Silvia

Comments

Danke, den habe ich berechnet S(3/6)!

Was aber kann ich damit machen? Ich habe ja noch nichts bewiesen…

---

b.) Bestimme x so, dass der Flächeninhalt des Rechtecks ABCD maximal wird. Gib diesen Maximalwert an.

x = 3, also \(A=3\cdot (-\frac{2}{3}\cdot 3+4)=6\)

---

Wie aber komme ich zum Beweis? Bzw. wieso ist g(x) = -2/3x + 4?

---

Du hast zwei Punkte und stellst damit die Gleichung der Geraden g = mx + n auf.

\(m=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{4-0}{0-6}=-\frac{4}{6}=-\frac{2}{3}\)

n bestimmst du, indem du die Koordinaten von einem der beiden Punkte in die Gleichung einsetzt:

\(4=-\frac{2}{3}\cdot 0 + n\Rightarrow n = 4\\ 0=-\frac{2}{3}\cdot 6 +n\Rightarrow n=4\)