Zeigen Sie, dass ψ genau dann diagonalisierbar

Question

Aufgabe:

Sei ψ ein Endomorphismus von C^2. Zeigen Sie, dass ψ genau dann diagonalisierbar

ist, wenn es mindestens zwei von {0} ⊂ C^2 und C^2 verschiedene ψ-invariante Untervektorräume von C^2 gibt.

Problem/Ansatz:

Wie geht man hier vor? Sind die Eigenräume bei der Diagonalisierung genau die invariante Untervektorräume?

Answer 1

Sind die Eigenräume bei der Diagonalisierung genau die invariante Untervektorräume? JA!

Wenn es einen von {0} ⊂ C2 und C2 verschiedenen ψ-invarianten Untervektorraum U von C2 gibt, dann ist der ja eindimensional.

Also hat er eine Basis, die aus genau einem von 0 verschiedenen

Vektor v besteht, und dieser ist dann ein Eigenvektor, da wegen

der Invarianz ψ(v) ∈ U gilt.

Also gibt es z∈ℂ mit ψ(v)=z*v.

Und wenn es zwei solche Unterräume gibt, dann sind deren Basen beide

Eigenvektoren und zusammen bilden sie eine Basis von ℂ,

also ist ψ diagonalisierbar.

Comments

Heißt das gleichzeitig, wenn es nicht diagonalisierbar ist, gibt es nur einen invarianten Teilraum außer 0 und C^2?

Kann es überhaupt auch bei diagonalisierbar mehr als zwei geben, weil in der Aufgabe ist ja die Rede von mindestens 2