Ich geb dir mal einen ganz heißen Tipp; Greub oder Kowalsky Band 2 . Die ===> Elementarteiler ( ET ) Theorie; es ist nicht eben einfach. Ich weiß auch nicht, ob du doch im Rahmen deiner Karriere überhaupt damit befassen willst.
Du darfst nämlich nie von der Säkulardeterminante ( SD ) her denken so wie man euch das in der Vorlesung erzählt. Was für die Matrix wirklich Ausschlag gebend ist, ist ihr ===> Minimalpolynom ( In der Algebra ist das ja auch genau so. )
Das Minimalpolynom ist immer ein TEILER der SD; und seine Wurzeln sind genau die Eigenwerte. D.h. wenn alle Eigenwerte gleich E sind. lautet die SD wie in deinem Fall
p ( A ; x ) = ( x - E ) ^ n ; n = Dimension ( 1 )
dagegen das Minimalpolynom
p ( A ; x ); min = ( x - E ) ^ m ; m < = n ( 2 )
Da es wie gesagt nur diesen einen Eigenwert E gibt, ist ( 2 ) auch gleichzeitig identisch mit dem ET deiner Matrix. Diagonalisierbar ist eine Matrix ( bekanntlich ) dann und nur dann, wenn ihre sämtlichen ET linear sind; abermals siehst du, dass ( 1 ) darüber genau gar nichts aussagt. Wenn aber der ET in ( 2 ) linear ist, dann heißt das wohl oder übel m = 1 . Trivial löst die Matrix ihr eigenes Minimalpolynom; so war es ja definiert. Also
A - E * 1| = 0 ( 3 )
und damit ist A ( im Wesentlichen ) die Einheitsmatrix.
Jetzt kannst du mir erzählen, euer Professor habe gesagt, ET " dürft ihr noch nicht wissen "
Dies wäre etwa so, als würdest du im Mittelalter einer Kaufmannsgilde angehören; und dein Chef verbietet dir, mit arabischen Zahlen zu rdchnen. Du müsstest alles mit römischen Zahlen, Rechenbrett und Kieselsteinen machen.
Sag selbst; führt dies zu einer höheren Einsicht? Mag sein, dass es umständlichere Lösungswege gibt. Du siehst doch, dass ich den zusammen hängenden Übereblick habe, was hier abgeht.
Du kannst eben diese Aufgabe unmöglich beherrschen, wenn du nicht vorher eine gewisse Vorarbeit in die ET investierst.