Zeigen Sie, dass A genau dann diagonalisierbar ist, wenn B diagonalisierbar ist.

Question

Aufgabe:

Sei \( A \in \mathbb{C}^{n, n}, c \in \mathbb{C} \) und \( B:=A-c \cdot E_{n} \). Zeigen Sie, dass \( A \) genau dann diagonalisierbar ist, wenn \( B \) diagonalisierbar ist.

Answer 1

\(A\) diagonalisierbar \(\iff \exists S\in GL(V)\), so dass

\(D=S^{-1}AS\) eine Diagonalmatrix ist.

Dann ist \(S^{-1}BS=S^{-1}AS-cS^{-1}E_nS=D-cE_n\), was

offenbar eine Diagonalmatrix ist.

Ist \(B\) diagonalisierbar, so folgt aus dem Bewiesenen

\(A=B-(-c)E_n\) ist diagonalisierbar.

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