A diagonalisierbar genau dann wenn A diagonal

Question

Sei \(A\in M_n(\mathbb{K})\) sd das charakteristische Polynom$$P_A=\pm (t-\lambda)^n$$ für ein \(\lambda\in \mathbb{K}\).Zeige, dass A genau dann diagonalisierbar ist, wenn A diagonal ist.
Ich wollte zuerst die Rückrichtung zeigen. Also sei A eine Matrix mit \(\lambda\) auf den Diagonalen. Man weiss, dass die algebraische Vielfachheit zu \(\lambda\) n ist. Jetzt wollte ich zeigen, dass die geometrische Vielfachheit ebenfalls n ist, was mir aber nicht gelingt.Zuerst dachte ich jedoch, dass diese Richtung trivial ist, weil ja eine Diagonalmatrix diagonalisierbar ist, weil sie ja schon diagonal ist, oder sehe ich das falsch?
Bei der anderen Implikation hätte ich angefangen durch Kontraposition. Also wenn A nicht diagonal, dass A dann nicht diagonalisierbar ist. Jedoch weiss ich nicht wie ich anfangen soll.

Comments

Wenn \( A \) diagonal ist, ist dann \( A \) nicht trivialerweise diagonalisierbar?

Answer 1

Ich versuche mal, die erste Antwort zu streamlinen. :)

Die Voraussetzungen besagen, dass es ausschliesslich um \(n\times n\)-Matrizen \(A\) geht, die genau einen Eigenwert \(\lambda\) mit algebraischer Vielfachheit \(n\) haben. Als Diagonalform kommt ueberhaupt nur \(\lambda E\) infrage. Es ist aber \(\lambda E\) invariant gegenueber Basiswechsel. Ergo: \(A=\lambda E\).

(Elementarteiler werden nicht gebraucht.)

Comments

Mit Invarianz gegenüber Basiswechsel meinst du \( S \lambda E S^{-1} = \lambda E \) für alle invertierbaren \( S \)?

---

Wenn man zu einem Endomorphismus f: V→V eine darstellende Matrix A angegeben will, muss man eine Basis B von V waehlen. Die Bilder der Basisvektoren kommen als Spalten in die Matrix A. Wenn ich eine andere Basis B' waehle, bekomme ich auch eine andere Matrix A'. Zum Umrechnen kann man die neue Basis B' spaltenweise in eine Matrix S schreiben. Dann ist A' = SAS^-1.

---

Für jede Matrix \( S \) gilt aber \( S \lambda E S^{-1} = \lambda E \). Darin besteht die Invarianz gegenüber Basiswechsel der Matrix \( \lambda E \).

Es ist deiner Notation folgend \( A' = A \) für \( A = \lambda E \).

Answer 2

  Ich geb dir mal einen ganz heißen Tipp; Greub oder Kowalsky Band 2 . Die ===> Elementarteiler ( ET ) Theorie; es ist nicht eben einfach. Ich weiß auch nicht, ob du doch im Rahmen deiner Karriere überhaupt damit befassen willst.

   Du darfst nämlich nie von der Säkulardeterminante ( SD ) her denken so wie man euch das in der Vorlesung erzählt. Was für die Matrix wirklich Ausschlag gebend ist, ist ihr ===> Minimalpolynom ( In der Algebra ist das ja auch genau so. )

   Das Minimalpolynom ist immer ein TEILER der SD; und seine Wurzeln sind genau die Eigenwerte. D.h. wenn alle Eigenwerte gleich E sind.  lautet die SD wie in deinem Fall

       p  (  A  ;  x  )  =  (  x  -  E  )  ^  n     ; n = Dimension    (  1  )

      dagegen das Minimalpolynom 

         p  (  A  ;  x  );  min    = (  x  -  E  )  ^  m  ;  m  <  =  n         (  2  )

    Da es wie gesagt nur diesen einen Eigenwert E gibt, ist ( 2 ) auch gleichzeitig identisch mit dem ET deiner Matrix. Diagonalisierbar ist eine Matrix ( bekanntlich ) dann und nur dann, wenn ihre sämtlichen ET linear sind; abermals siehst du, dass ( 1 ) darüber genau gar nichts aussagt. Wenn aber  der ET in ( 2 ) linear ist, dann heißt das wohl oder übel m = 1 . Trivial löst die Matrix ihr eigenes Minimalpolynom; so war es ja definiert.  Also

            A  -  E  *  1|  =  0     (  3  )

   und damit ist A ( im Wesentlichen ) die Einheitsmatrix.

    Jetzt kannst du mir erzählen, euer Professor habe gesagt, ET " dürft ihr noch nicht wissen "

   Dies wäre etwa so, als würdest du im Mittelalter einer Kaufmannsgilde angehören; und dein Chef verbietet dir, mit arabischen Zahlen zu rdchnen. Du müsstest alles mit römischen Zahlen, Rechenbrett und Kieselsteinen machen.

   Sag selbst; führt dies zu einer höheren Einsicht? Mag sein, dass es umständlichere Lösungswege gibt. Du siehst  doch, dass ich den zusammen hängenden Übereblick habe, was hier abgeht.

   Du kannst eben diese Aufgabe unmöglich beherrschen, wenn du nicht vorher eine gewisse Vorarbeit in die ET investierst.

Comments

  Und noch ein weiteres Plädoyer zu meinen Gunsten. Du schreibst


    <<  wenn A nicht diagonal, dass A dann nicht diagonalisierbar ist.

   Nein; die Pointe, das klein Gedruckte, hast du völlig verpasst-  Wenn eine Matrix nicht in DIAGONALFORM vor liegt, könnte sie trotzdem sehr wohl diagonalisierbar sein ( z.B. jede Hermitesche Matrix. )

   Wenn du zeigen sollst, dass A schon von Anfang an diagonal war ( Bereits, bevor " Gott die Welt erschaffen hat " ) , dann ist damit ausgesagt, dass A = EINHEITSMATRIX . Denn die Einheitsmatrix ist die einzige, die von Vorn herein in jeder Basis in Diagonalform vor liegt.

   Du siehst; es verhält sich eben doch wie mit den Juristen, den Rechtsverdrehern und ihrem klein Gedruckten.  Eben der Umstand, dass ich GRÜNDLICH ET gelernt habe, befähigt mich allererst, den Aufgabentext richtig zu interpretieren und eurem Prof auf die Schliche zu kommen.