Surjektive Abbildung. Zeige, dass Implikationen stimmen mit direkter Summe

Question

Seien V,W zwei \(\mathbb{K}\)-Vektorräume. \(f:V\rightarrow W\) eine surjektive lineare Abbildung und \(W_1,W_2\subset W\) Unterräume. Bestimme die Implikationen zwischen folgenden Aussagen:

1.) $$W= W_1\oplus W_2$$

2.) $$ f^{-1}(W_1)\oplus f^{-1}(W_2)=V$$

3.)$$W=W_1+W_2$$

4.) $$ f^{-1}(W_1)+ f^{-1}(W_2)$$

Kann ich bei \(1\rightarrow 2\) sagen:

$$\dim W=\dim W_1+\dim W_2 $$ und dann weil es eine lineare Abbildung ist, welche surjektiv ist folgt, dass sie bijektiv ist und dadurch die 2. Aussage stimmt?

Was ist die Idee bei den anderen Implikationen?

Answer 1

und dann weil es eine lineare Abbildung ist, welche surjektiv ist folgt, dass sie bijektiv ist

Wie willst du das begründen. Über dim V ist doch nichts bekannt ???

Ich würde erst mal die Reihenfolge etwas ändern:

aus 1 folgt 3 , da ist nichts zu beweisen.

ebens0 bei :  aus 2 folgt 4 ( da fehlt noch bei 4 das = V )

Das wären jedenfalls 2 Implikationen die wahr sind.

Comments

Hmm ich bin auch gerade an der Aufgabe, gibt es da noch mehr Implikationen die gelten?