Ist also zu zeigen, dass dernur aus dem Nullvektor besteht. Durchschnitt je zweier Unteräume von
U1 bis Ur+1 nur aus dem Nullvektor besteht.
Seien also Ui und Uk zwei verschiedene dieser Unterräume.
und sowohl i<r+1 als auch k < r+1
Dann Ist Ui ∩ Uk = {0} weil die Summe der ersten r Stück direkt ist
ist einer von beiden (etwa Uk ) = Ur+1 und x verschieden vom Nullvektor
in Ui ∩ Ur+1 dann ist x auch in U ; denn es kann als Summe x + 0 + 0 +0 ..
dargestellt werden, wobei die 0en die Nullvektoren von den von Ui verschiedenen
Summanden in der Darstellung von U sind.
Also wäre dann x in U ∩ Ur+1 im Widerspruch zur Direkthiet der Summe
U + Ur+1 .