Zeige, dass die Summe direkt ist.

Question

Sei V ein Vektorraum un \(U_1,....U_r,U_{r+1}\) Unterräume mit

\(U=U_1\bigoplus ........... \bigoplus U_r\) sd. die Summe \(U+U_{r+1}\) direkt ist.

Zeige, dass die Summe

\(U_1+U_1+.........+U_r+U_{r+1}\) direkt ist.

Answer 1

Ist also zu zeigen, dass dernur aus dem Nullvektor besteht. Durchschnitt je zweier Unteräume von

U₁ bis U_r+1  nur aus dem Nullvektor besteht.

Seien also U_i und U_k zwei verschiedene dieser Unterräume.

und sowohl i<r+1 als auch   k < r+1

Dann Ist U_i ∩  U_k = {0} weil die Summe der ersten r Stück direkt ist

ist einer von beiden (etwa U_k )   =  U_r+1   und x verschieden vom Nullvektor

in   U_i ∩  U_r+1    dann ist x auch in U ; denn es kann als Summe x + 0 + 0 +0 ..

dargestellt werden, wobei die 0en die Nullvektoren von den von U_i verschiedenen

Summanden in der Darstellung von U sind.

Also wäre dann x in   U ∩  U_r+1  im Widerspruch zur Direkthiet der Summe

U +  U_r+1 .