Bestimmen Sie alle Funktionen f, für die gilt:

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle Funktionen f, für die gilt:

Die Tangente an den Graphen von f an der Stelle x verläuft durch den Punkt

(1) P(0|1)

(2) Q(1|0)

Problem/Ansatz

Ich weiß nicht, wie ich da sinnvoll rangehen kann und dann auch auf eine sinnvolle Lösung kommen kann.

Das Thema ist : Separation der Variablen, also man soll es damit lösen.

Brauche dringend Hilfeeeeee

Answer 1

Für die Tangentengleichung an einem Funktionsgraphen von \(f\) an der Stelle \(x_0\) gilt \(t(x)=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\).

Es gilt zusätzlich \(t(0)=1\). Das liefert folgende DGL:

\(1=f'(x_0)(0-x_0)+f(x_0)\) bzw. \(f'(x)=\frac{f(x)-1}{x}\).

Comments

Und wo haben Sie jetzt Funktionen bestimmt?

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Nun, das überlasse ich dir. Die DGL musst du natürlich noch lösen.

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Ist die richtige Lösung der DGL dann f(x) = 1/x ?

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Nein. Du kannst ja durch Einsetzen prüfen, ob es passt. Sieht man schnell, dass es schiefgeht.

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Für die zweite mit Q(1|0) ergibt sich als Differentialgleichung dann f'(x) = f(x)/x-1 und damit dann f(x) = c × (x-1) oder ?

Und damit ergibt sich hier ja tatsächlich eine Art Funktionenschar für eine lineare Funktion, bei welcher eine Tangente Anlegung mathematisch wenig sinnvoll wäre oder?

Oder bin ich hier völlig auf dem falschen Weg ?

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Und für das Erste mit P(0|1) folgt dann als Lösung der DGL f(x) = cx+1 , richtig?

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Ja, siehe die andere Antwort.

Answer 2

Müssten das nicht rein gedanklich alle Linearen Funktionen sein, die durch den gewünschten Punkt gehen:

(1) y = a(x - 0) + 1 = ax + 1

(2) y = a(x - 1) + 0 = ax - a

Comments

Gibt es bei linearen Funktionen eigentlich den Begriff "Tangente am Funktionsgrafen"?

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Ja. Warum nicht?

Nur ist das bei linearen Funktionen etwas unsinnig, weil jede Tangente mit der Funktion identisch ist.