Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung und Erwartungswert

Question

Aufgabe:

Bei einem Würfelspiel erhält man die doppelte Augenzahl in Euro ausgezahlt,
wenn eine Primzahl geworfen wird. Ansonsten muss man einen Betrag in Höhe
der Augenzahl an die Bank zahlen. Die Zufallsgröße X gibt die Beträge an, die
ausgezahlt, bzw. eingezogen werden. (8 P)
a. Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung auf.
b. Berechnen Sie den Erwartungswert und beurteilen Sie, ob das Spiel für die
Bank profitabel ist.
c. Welchen Einsatz müsste die Bank verlangen, damit das Spiel fair ist?

Problem/Ansatz:

Ich weiß leider nicht wie ich die Wahrscheinlichkeitsverteilung machen muss, deshalb komme ich bei den andern beiden Aufgaben auch nicht weiter. Mir ist nämlich unklar wie ich das mit den Primzahlen machen muss. Ich weiß das die Primzahlen bei einem Würfel 2,3, und 5 sind ich weiß aber nicht wie ich das berücksichtigen muss.

Answer 1

Überlege dir, welche Beträge für \(X\) möglich sind und ordne die entsprechende Wahrscheinlichkeit zu. Dann hast du schon die Verteilung. Bspw. beträgt die Wahrscheinlichkeit für \(P(X=-1)=\frac{1}{6}\) (hier wird eine 1 gewürfelt, das ist keine Primzahl und deswegen beträgt die Auszahlung -1 Euro).

Answer 2

Bei einem Würfelspiel erhält man die doppelte Augenzahl in Euro ausgezahlt, wenn eine Primzahl geworfen wird. Ansonsten muss man einen Betrag in Höhe der Augenzahl an die Bank zahlen. Die Zufallsgröße X gibt die Beträge an, die ausgezahlt, bzw. eingezogen werden. (8 P)

a. Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung auf.

Ich denke, das könnte wie folgt aussehen:

Augenzahl	1	2 (prim)	3 (prim)	4	5 (prim)	6
Auszahlung/Einzahlung	-1	4	6	-4	10	-6
Wahrscheinlichkeit	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Comments

Die Zufallsgröße X gibt die Beträge an, die ausgezahlt, bzw. eingezogen werden.

Beträge soll wohl eher nicht mathematisch gemeint sein. Das würde wenig Sinn machen.

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Nennen wir sie Geldbeträge...

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Ich habe zu der Antwort bei B eine Frage. Was sagt mir diese 1,5?

Das der Spieler im Mittel einen Gewinn von 1.50 € pro Spiel erhält.

Ist das Spiel für die Bank profitabel?

Nein, denn die Bank macht einen mittleren Verlust von 1.50 € pro Spiel.

Answer 3

b) EW: (1/6)*(-1+4+6-4+10-6) = 1,50

c)

(1/6)*(-1 +4+6-4+10-6)-(5/6)*x = 0

x =1,80

Comments

Ich habe zu der Antwort bei B eine Frage. Was sagt mir diese 1,5? Ist das Spiel für die Bank profitabel?

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c) ist verkehrt. Ein Einsatz würde immer gezahlt werden. Die 5/6 ist also verkehrt.