Erwartungswert einer Zufallsgröße und Wahrscheinlichkeitsverteilung

Question

Aufgabe:

Otto schlägt folgendes Spiel vor:

Egon muss zuerst für das Spiel den Einsatz e=5 Cent an Otto zahlen.

Im Gegenzug stellt Otto drei Münzen zur Verfügung (1 Cent, 2 Cent, 5 Cent).

Egon darf diese Münzen dann gleichzeitig werfen.

Alle Münzen, die Zahl zeigen, darf er behalten.

Die Münzen, die Kopf zeigen  fallen an Otto zurück.

Welcher Spieler ist im Vorteil? Wie müsste der Einsatz e lauten, wenn das Spiel fair sein sollte?

Problem/Ansatz:

ich hoffe, dass mir jemand helfen kann. Bei dieser Aufgabe stehe ich auf dem Schlauch.

Als Ergebnis für die Wahrscheinlichkeitsverteilung habe ich :

-5	-4	-2	3	0	-3
1/8	3/8	3/8	1/8	3/8	3/8

hierbei habe ich einfach z.B. für den Fall, dass nur eine Zahl, z.B. die Eins und die zwei restlichen Kopf fallen: 1cent (gewinn)-5cent (Einsatz) = -4cent gerechnet. Da ich so nihcht klar kam, habe ich die Wahrscheinlichkeiten mir einem Baumdiagramm gerechnet. Aber es ist leider falsch weil P(x=xigesamt) nicht gleich 1 ist.

Ich würde mich über Erklärungen freuen :) bitte nicht einfach nur lösung aufschreiben, sondern mir auch schreiben was ich hier falsch mache

Answer 1

Aloha :)

1-Münze	2-Münze	5-Münze	Gewinn Otto	Summe
0	0	0	+5-0	5
0	0	1	+5-5	0
0	1	0	+5-2	3
0	1	1	+5-7	-2
1	0	0	+5-1	4
1	0	1	+5-6	-1
1	1	0	+5-3	2
1	1	1	+5-8	-3

Bei 5ct. Einsatz ist der Erwartungswert für Ottos Gewinn:$$\mu(5)=\frac{1}{8}\left(8\cdot5-0-5-2-7-1-6-3-8\right)=\frac{1}{8}\left(40-32\right)=1$$Bei x ct. Einsatz ist der Erwartungswert für Ottos Gewinn:$$\mu(x)=\frac{1}{8}\left(8\cdot x-0-5-2-7-1-6-3-8\right)=\frac{1}{8}\left(8x-32\right)=x-4$$Das Spiel wäre fair, wenn der Erwartungswert \(\mu(x)=0\) wäre, also bei \(x=4\)ct. Einsatz.

Comments

Vielen lieben Dank

Answer 2

Was du VORHER sagen solltest: WELCHE Zufallsgröße beschreibt deine Tabelle? (Antwort: Gewinn von Egon.)

Die möglichen Werte sind:

-5   (1/8 stimmt)

-4   (nur 1/8 !)

-3   (nur 1/8 !)

-2  (nur 1/8 !)

0

1

2

3

(Für jede dieser 8 Gewinnstufen gibt es nur eine einzige von den 8 möglichen Münzenbildkombinationen, also ist jede Wahrsch. nur 1/8.)