Berechnen Sie die folgenden Werte, falls in ℝ existent (sonst begründen, warum divergent):

Question

Text erkannt:

Aufgabe 5 (Werte unendlicher Reihen).
( 2+2 Punkte )
Berechnen Sie die folgenden Werte, falls in \( \mathbb{R} \) existent (sonst begründen, warum divergent):
a) \( \frac{2}{3^{1}}+\frac{2}{3^{2}}+\frac{2}{3^{4}}+\frac{2}{3^{5}}+\frac{2}{3^{7}}+\frac{2}{3^{8}}+\frac{2}{3^{10}}+\frac{2}{3^{11}}+\frac{2}{3^{13}}+\frac{2}{3^{14}}+\frac{2}{3^{16}}+\frac{2}{3^{17}}+\ldots \),
b) \( \sum \limits_{k=3}^{\infty} \frac{2^{k}}{(k-3) !} \).

also in a) weiß ich nicht wie ich die Exponenten von dem Nenner 3 darstellen soll und in b) hab ich keine Ahnung wie ich vorgehen soll. es erinnert mich aber an exponential Funktion. habe versucht den Startindex auf 0 zu setzen, aber dann ist Fakultät negativ was nicht definiert ist

Answer 1

Aloha :)

zu a) Die erste Summe können wir auf eine geometrische Reihe zurückführen:$$S_a=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{2}{3^k}-\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{2}{3^{3k}}=\sum\limits_{k=1\pink{-1}}^\infty\frac{2}{3^{k\pink{+1}}}-\sum\limits_{k=1\pink{-1}}^\infty\frac{2}{(3^3)^{k\pink{+1}}}$$$$\phantom{S_a}=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{2}{3^1\cdot3^k}-\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{2}{27^1\cdot27^k}=\frac23\sum\limits_{k=0}^\infty\left(\frac13\right)^k-\frac{2}{27}\sum\limits_{k=0}^\infty\left(\frac{1}{27}\right)^k$$Wir erkennen in den Summen die geometrische Reihe mit \(q=\frac13\) und \(q=\frac{1}{27}\):$$\sum\limits_{k=0}^\infty q^k=\frac{1}{1-q}\quad\text{für }|q|<1$$sodass wir den Wert von \(S_a\) bestimmen können:$$S_a=\frac23\cdot\frac{1}{1-\frac13}-\frac{2}{27}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{27}}=2\cdot\frac{1}{3-1}-2\cdot\frac{1}{27-1}=1-\frac{1}{13}=\pink{\frac{12}{13}}$$

zu b) Die zweite Summe "knacken" wir mittels der Exponentialreihe:$$S_b=\sum\limits_{k=3}^\infty\frac{2^k}{(k-3)!}=\sum\limits_{k=3\pink{-3}}^\infty\frac{2^{k\pink{+3}}}{((k\pink{+3})-3)!}=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{2^3\cdot 2^{k}}{k!}=8\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{2^k}{k!}$$Ein Vergelich mit der Reihendarstellung für die Exponentialfunktion$$e^x=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}$$führt uns schließlich zu:$$S_b=\pink{8\cdot e^2}$$

Comments

Fehlt bei der Reihe a) nicht jeder dritte Summand im Vergleich zur geometrischen Reihe?

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Du hast bei a) übersehen, dass jeder dritte Summand fehlt.

PS: Arsinoé4 war schneller.

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Vielen Dank für euren Hinweis...

Ich habe meinen Faux-pas korrigiert ;)

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Die erste Summe können wir auf eine geometrische Reihe zurückführen:

ist ja richtig. Trotzdem favorisiere ich hier immer diese Malnehmen-und-Abziehen-Lösung:$$\begin{aligned} x &= \frac{2}{3^1} + \frac{2}{3^2}+ \frac{2}{3^4}+ \frac{2}{3^5}+ \frac{2}{3^7}\dots &&|\,\cdot 3^3 \\ 3^3x &= 2\cdot 3^2 + 2\cdot 3^1+\frac{2}{3^1} + \frac{2}{3^2}+ \frac{2}{3^4}+ \dots &&|\, -(\text{Glg.}\,1)\\ 26x &= 2\cdot 9 + 2\cdot 3 &&|\,\div26\\ x &= \frac{24}{26} = \frac{12}{13} \end{aligned}$$die auch ohne jede Kenntnis der geometrische Reihe verständlich ist und meines Erachtens auch weniger Rechnerei benötigt.

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ohne jede Kenntnis der geometrische Reihe

immerhin ist bei deiner Darstellung die Kenntnis ihrer absoluten Konvergenz erforderlich.

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immerhin ist bei deiner Darstellung die Kenntnis ihrer absoluten Konvergenz erforderlich.

auch richtig! Ist in diesem Fall aber auch kein Problem, da$$x = (0,\overline{220})_3$$

Answer 2

Fasse immer zwei Summanden zusammen.

\( \frac{8}{3^2} \)+\( \frac{8}{3^5} \)+\( \frac{8}{3^8} \)+ ...

sollte machbar sein, oder?

Wenn du damit immer noch nicht zurechtkommst, klammere \( \frac{8}{3^2} \) aus.

habe versucht den Startindex auf 0 zu setzen,

Das kannst du nicht vom Rest losgelöst machen.

Das Stichwort ist "Indexverschiebung".