Zeigen Sie, dass im(p(A)) =ker(q(A))

Question

Aufgabe:

a) Sei A ∈ Q^n×n, und seien p, q ∈ Q[X] so, dass (pq) (A) = 0 und gcd(p, q) = 1. Zeigen Sie, dass der Spaltenraum der Matrix p(A) gleich dem Nullraum der Matrix q(A) ist; zeigen Sie also im(p(A)) = ker(q(A)).

b) Sei A eine n×n-Matrix über Q mit A·A = A. Zeigen Sie: Qⁿ ist die direkte Summe ker(A)+im(A), und A ist diagonalisierbar.

Problem/Ansatz:

Ich kenne mich fast gar nicht aus. Bei a) hätte ich gesagt (pq)(A)=p(A)*q(A)=0, also muss entweder p(A) oder q(A) gleich 0 sein, dann wäre A im Kern, bringt mir das irgendwas? Und wie kann ich mit dem Bild von p(A) umgehen? Wie würde das hier ausschauen?

Un bei b) brauche ich bitte sehr viel Hilfe.

Answer 1

Aus p(A)*q(A)=0 folgt nicht p(A) = 0 oder q(A)=0.

b) folgt aus a): Es gilt (E-A)·A = 0, also können wir a) für p = x,  q = 1 - x anwenden, also im(A) = ker(E-A). Sei v ∈ ker(E-A), also ist v = Av ein Eigenvektor zum Eigenwert 1. Jedes w ∈ ker(A) ist Eigenvektor zum Eigenwert 0. Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig, also ker(A) ∩ im(A) = 0, V = ker(A) ⊕ im(A) folgt aus Dimensionsgründen

Comments

Wegen gcd(p, q) = 1 gibt es Polynome a,b mit 1 = ap + bq, also

E = ap(A) + bq(A) und damit v = ap(A)v = bq(A)v für alle v ∈ Qⁿ. Wenn nun v ∈ ker(q(A)) ist, so gilt v = ap(A)v = pa(A)v ∈ im(p(A)). Sei umgekehrt v ∈ im(p(A)), also v = p(A)w für ein w, dann ist q(v) = qp(A) = 0, also v ∈ ker(q(A)).

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Danke für die Antwort! Ich verstehe es aber leider noch nicht ganz.

Zu a): Warum weiß ich, dass v=ap(A)v=bq(A)v? Folgt aus E = ap(A) + bq(A) nicht v = ap(A)v + bq(A)v? Und woher weiß ich, dass pa(A)v ∈ im(p(A)) ist?

Und zu b): Warum gilt gilt (E-A)·A = 0? In der Angabe steht doch nur, dass A·A = 0, wie kann ich das in (E-A)·A = 0 umformen? Und warum ist jedes w ∈ ker(A) Eigenvektor zum Eigenwert 0?

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Und warum ist A diagonalisierbar?

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1. Hier war v ∈ ker(q(A)) vorausgesetzt.

2. (E-A)A = A-A²

^{3. Was heißt denn w ∈ ker(A) ?}

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Von Diagonalisierbarkeit ist nirgends die Rede.

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Danke, jetzt verstehe ich alles!

In der Angabe ist bei b) zum Schluss, dass man zeigen soll, dass A diagonalisierbar ist. Das hat wahrscheinlich damit zu tun, dass A*A=A, oder?

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Notwendig und hinreichend für die Diagonalisierbarkeit ist, dass Qⁿ die direkte Summe der Eigenräume von A ist.

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Ah ok, und wieso?

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Was ist denn ein Eigenraum?

Wenn man eine Basis aus Eigenvektoren hat, wie sieht dann die Darstellungsmatrix aus?