Bestimmen Sie Basen von ker(f) und im(f).

Question

Sei f : Q5 → Q4 die lineare Abbildung, die bezüglich der Standardbasis von Q5 und der Standardbasis von Q4 durch die Matrix

1  -2  -4  3 1

2  -3  -7  5  2

1  -5  -7  6  1

2   0  -4  2  1

   

   ∈ M(4 × 5, Q)
gegeben ist. Bestimmen Sie Basen von ker(f) und im(f).    Wer kann mir helfen?

Answer 1

[1, -2, -4, 3, 1]
[2, -3, -7, 5, 2]
[1, -5, -7, 6, 1]
[2, 0, -4, 2, 1]

[1, -2, -4, 3, 1]
[0, 1, 1, -1, 0]
[0, -3, -3, 3, 0]
[0, 4, 4, -4, -1]

[1, -2, -4, 3, 1]
[0, 1, 1, -1, 0]
[0, 0, 0, 0, 0]
[0, 0, 0, 0, -1]

Jetzt ist die Matrix in Zeilenstufenform.

Sorry muss weg. Mach nachher weiter.

Comments

ker(f) ist der Vektorraum der auf den Nullvektor abgebildet wird

e = 0

b + c - d = 0
b = d - c

a - 2·c + d = 0
a = 2·c - d

[2·c - d ; d - c ; c ; d ; 0] 

Basis ist hier also

[2; -1; 1; 0; 0] und [-1; 1; 0; 1; 0]

---

[1, 2, 1, 2]
[-2, -3, -5, 0]
[-4, -7, -7, -4]
[3, 5, 6, 2]
[1, 2, 1, 1]

[1, 2, 1, 2]
[0, 1, -3, 4]
[0, 1, -3, 4]
[0, -1, 3, -4]
[0, 0, 0, -1]

[1, 2, 1, 2]
[0, 1, -3, 4]
[0, 0, 0, 0]
[0, 0, 0, 0]
[0, 0, 0, -1]

Basis des Bildraumes im(f) ist also
[1, 2, 1, 2], [0, 1, -3, 4], [0, 0, 0, 1]