Von welchen Punkten der x-Achse aus sieht man die Punkte unter einem rechten Winkel? (Vektoren)

Question

(b) Bestimmen Sie \( \lambda \) so, diss die beiden Vektoren \( \boldsymbol{a} \) und \( \boldsymbol{b} \) orthogonal zueinander sind.
\( a=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) \quad b=\left(\begin{array}{l} 2 \\ \lambda \\ 0 \end{array}\right) \)

(c) Bestimmen Sie \( \lambda \) so dass die beiden Vektoren \( a \) und \( b \) orthogonal zueinander sind.

\( a=\left(\begin{array}{l} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right), b=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1+\lambda \\ 2 \end{array}\right) \)

(d) Von welchen Punkten der x-Achse aus sieht man die Punkte \( A(3 / 2 / 1) \) und \( B(-4 / 4 / 2) \) unter einem rechten Winkel?

WIe löse ich Aufgabe d) ohne den Taschenrechner?

Answer 1

Nun, im rechten Winkel sieht man die Punkte A und B von denjenigen Punkten P der x-Achse aus, für die gilt, dass die Richtungsvektoren der Geraden durch die Punkte A und P bzw. B und P senkrecht aufeinander stehen. Das ist dann der Fall, wenn das  Skalarprodukt dieser Richtungsvektoren den Wert 0 hat.

Die Punkte der x-Achse haben die Koordinaten P ( x | 0 | 0 ).

Somit ist der Richtungsvektor R_A der Geraden durch A und P:

R_A = A - P = ( 3 | 2 | 1 ) - ( x | 0 | 0 ) = ( 3 - x | 2 | 1 )

und der Richtungsvektor R_B der Geraden durch B und P:

R_B = B - P = ( - 4 | 4 | 2 ) - ( x | 0 | 0 ) = ( - 4 - x | 4 | 2 )

Das Skalarprodukt ist:

R_A * R_B = ( 3 - x ) * ( - 4 - x ) + 2 * 4 + 1 * 2

= - 12 - 3 x + 4 x + x ² + 8 + 2

= x ² + x - 2

Dieses muss den Wert Null annehmen, also:

x ² + x - 2 = 0

<=> ....

<=> x = - 2 oder x = 1

 

Die Punkte der x-Achse, von denen aus man die Punkte A und B im rechten Winkel sieht, sind also die Punkte

P₁ ( - 2 | 0 | 0 )

und

P₂ ( 1 | 0 | 0 )