Zeigen Sie, dass f(x)^2 - 2g(x)^2 = -1 für alle x in [-1,1] gilt

Question

Aufgabe:

Seien \( f, g:[-1,1] \longrightarrow \mathbb{R} \) differenzierbare Funktionen mit den folgenden Eigenschaften:
1. \( f^{\prime}=2 g \)
2. \( g^{\prime}=f \)
3. \( f(0)=g(0)=1 \).

Zeigen Sie, dass \( f(x)^{2}-2 g(x)^{2}=-1 \) für alle \( x \in[-1,1] \) gilt.

Text erkannt:

Aufgabe 7 (7 Punkte).
Seien \( f, g:[-1,1] \longrightarrow \mathbb{R} \) differenzierbare Funktionen mit den folgenden Eigenschaften:
1. \( f^{\prime}=2 g \)
2. \( g^{\prime}=f \)
3. \( f(0)=g(0)=1 \).

Zeigen Sie, dass \( f(x)^{2}-2 g(x)^{2}=-1 \) für alle \( x \in[-1,1] \) gilt.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht wie man an die Aufgabe drangehen soll. Ich sehe dass die Funktionen auf jeden Fall unendlich oft differenzierbar sind, aber ich weiß nicht wie man das anwenden kann.

Für jede Hilfe bin ich sehr dankbar!

Answer 1

Betrachte \(h(x)=(f(x))^2-2(g(x))^2\) und weise nach, dass \(h\equiv konst\), mittels Ableitung. Der Wert der Konstante folgt aus der 3. Bedingung.