Aussagen beweisen mit direktem Beweis

Question

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Aufgabe 3
(8 Punkte)
Beweisen Sie die folgenden Aussagen jeweils mit einem direkten Beweis:
(a) Für alle $n, m \in \mathbb{N}$ gilt: Wenn $n$ und $m$ gerade sind, so ist auch $n+m$ gerade.
(b) Für alle $n, m \in \mathbb{N}$ gilt: Wenn $n$ und $m$ ungerade sind, so ist $n+m$ gerade.

Hinweis: Überlegen Sie sich, auf welche Weise man gerade bzw. ungerade Zahlen immer darstellen kann.

Meine Lösung:

Um die beiden Aussagen zu beweisen, verwendet man die Definitionen von geraden und ungeraden Zahlen:

- Eine gerade Zahl kann immer dargestellt werden als $2k$, wobei $k$ eine ganze Zahl ist.
- Eine ungerade Zahl kann immer dargestellt werden als $2k + 1$, wobei $k$ eine ganze Zahl ist.

1. Für alle $n, m \in \mathbb{N}$ gilt: Wenn $n$ und $m$ gerade sind, so ist auch $n + m$ gerade.

Direkter Beweis:
Seien $n = 2a$ und $m = 2b$ für $a, b \in \mathbb{Z}$. Dann ist $n + m = 2a + 2b = 2(a + b)$. Da $a + b$ eine ganze Zahl ist, ist $n + m$ auch durch 2 teilbar, daher ist $n + m$ gerade.

2. Für alle $n, m \in \mathbb{N}$ gilt: Wenn $n$ und $m$ ungerade sind, so ist $n + m$ gerade.

Direkter Beweis:
Seien $n = 2a + 1$ und $m = 2b + 1$ für $a, b \in \mathbb{Z}$. Dann ist $n + m = (2a + 1) + (2b + 1) = 2a + 2b + 2 = 2(a + b + 1)$. Da $a + b + 1$ eine ganze Zahl ist, ist $n + m$ auch durch 2 teilbar, daher ist $n + m$ gerade.

Ist das so richtig und wenn nicht, könnte mir eventuell jemand helfen?

Bin für jede Antwort dankbar!

Answer 1

Um deine Frage mal zu beantworten: das hast du alles sehr gut gemacht. :)